Сколько единиц продукции нужно выпускать каждый месяц, чтобы получить максимальную прибыль, если производство каждой

Тема: Оптимизация прибыли в производстве

Пояснение: Чтобы определить количество единиц продукции, которые нужно выпускать каждый месяц для получения максимальной прибыли, мы должны найти точку экстремума функции прибыли. Для этого мы должны найти, при каком значении переменной x функция прибыли достигает своего максимума.

Месячная прибыль выражается как разница между доходом от продажи продукции и затратами на ее производство. Затраты на производство каждой единицы составляют q = x^2 + 6x + 10 рублей, а цена за единицу продукции равна 500 рублям. Тогда функция прибыли будет выглядеть следующим образом: P(x) = 500x - (x^2 + 6x + 10).

Чтобы найти максимум функции, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю. Возьмем производную функции прибыли по переменной x и приравняем ее к нулю:

P'(x) = 500 - (2x + 6) = 0

Решим это уравнение:

2x + 6 = 500
2x = 494
x = 247

Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль, необходимо выпускать 247 единиц продукции каждый месяц.

Пример использования: Какое количество единиц продукции нужно выпускать каждый месяц, чтобы получить максимальную прибыль, если производство каждой единицы обходится в (q=x^2+6x+10) рублей, а цена за единицу составляет 500 рублей?

Совет: Чтобы лучше понять данную проблему, рекомендуется изучить основные понятия из теории максимумов и минимумов функций. Познакомьтесь с процессом нахождения экстремумов и решением уравнений, чтобы легче справиться с задачами оптимизации прибыли.

Упражнение: Стоимость производства каждой единицы продукции задана функцией q = x^2 - 4x + 5, а цена за единицу составляет 800 рублей. Какое количество единиц продукции нужно выпускать каждый месяц, чтобы получить максимальную прибыль?