Сколько будет значение выражения 6cos^2 4x+2sin8x=5?

Содержание: Решение уравнений с тригонометрическими функциями
Разъяснение: Для решения данного уравнения с тригонометрическими функциями мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Первым шагом заметим, что данный вид уравнения можно переписать с помощью тригонометрических тождеств: \(cos^2 A = \frac{1}{2}(1+cos2A)\) и \(sin2A = 2sinAcosA\). Подставим эти тождества в наше уравнение:

\(6\left(\frac{1}{2} (1+cos8x)\right) + 2(2sin4x*cos4x) = 5\)

Далее упростим это выражение:

\(3(1+cos8x) + 4sin4x*cos4x= 5\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(3 + 3cos8x + 4sin4x*cos4x= 5\)

Теперь приведем уравнение к более простому виду:

\(3cos8x + 4sin4x*cos4x= 2\)

На данном этапе мы можем использовать подстановку \(t = 4x\), чтобы свести уравнение к алгебраическому виду. Обратимся к тригонометрическому тождеству \(sin^2 A+cos^2 A=1\) и заменим \(sin^2 4x\) в уравнении:

\(3cos8x + 4(1-cos^2 4x)*cos4x= 2\)

Раскроем скобки и упростим:

\(3cos8x + 4cos4x - 4cos^3 4x = 2\)

Теперь мы получили алгебраическое уравнение относительно \(cos4x\). Решим его:

\(4cos^3 4x + 3cos8x + 4cos4x - 2 = 0\)

Решение этого уравнения может быть получено численными методами или с помощью калькулятора. Итак, мы решили уравнение и найдем значение \(x\), зная значение \(4x\).

Доп. материал: Решите уравнение \(6cos^2 4x+2sin8x=5\) с помощью предложенного пошагового решения.
Совет: При решении уравнений с тригонометрическими функциями, полезно знать тригонометрические тождества и уметь применять алгебраические преобразования для упрощения уравнений до алгебраической формы. Практикуйтесь в решении различных задач, чтобы лучше понять принципы решения таких уравнений.
Проверочное упражнение: Решите уравнение \(4sin^2 3x + 6(1-cos^2 3x) = 2\) и найдите значение \(x\).