Равновесие композиции (f•g)•h можно считать доказанным равным f•(g•h

Равновесие композиции (f • g) • h можно считать доказанным равным f • (g • h)

Инструкция: Данное равенство основано на свойствах композиции функций.

Композицией двух функций f и g называется новая функция (f • g)(x), которая определяется как f(g(x)). То есть значения x сначала подставляются в функцию g, а затем результат подставляется в функцию f.

Теперь рассмотрим композицию трех функций: (f • g) • h. Сперва применяется композиция функций f и g, то есть внутренняя композиция (f • g). Результат этой композиции обозначим как k(x), то есть k(x) = f(g(x)). Затем к результату k(x) применяется функция h. То есть, значение k(x) подставляется в функцию h, получаем h(k(x)).

Разложим это выражение: f • (g • h). Здесь сначала происходит внутренняя композиция g и h, то есть g • h, обозначим это как l(x). Затем функция f применяется к результату l(x), получаем f(l(x)).

Таким образом, мы видим, что функция h(k(x)) и функция f(l(x)) дают одинаковый результат. Значит, равенство (f • g) • h = f • (g • h) справедливо.

Например: Пусть f(x) = x^2, g(x) = 2x, h(x) = x + 1. Тогда (f • g) • h = f(g(x)) • h = f(2x) • (x + 1) = (2x)^2 • (x + 1) = 4x^2 • (x + 1).
И аналогично f • (g • h) = f(g(h(x))) = f(g(x + 1)) = f(2(x + 1)) = (2(x + 1))^2 = 4(x + 1)^2.
После упрощения мы получаем, что выражение (f • g) • h = f • (g • h).

Совет: Для лучшего понимания равновесия композиции функций, рассмотрите несколько примеров с конкретными функциями. Постепенно анализируйте процесс применения композиции функций и выявляйте общие закономерности. Это поможет вам лучше понять концепцию равновесия композиции и легче запомнить соответствующие правила.

Практика: Пусть f(x) = x + 2, g(x) = 3x, h(x) = 4x - 1. Вычислите значение выражения (f • g) • h и значение выражения f • (g • h) для x = 5.