Проведите плоскость α через точку k - середину ребра aa₁ и точку b так, чтобы она была параллельна диагонали куба

Название: Плоскость, параллельная диагонали куба

Пояснение: Чтобы провести плоскость α через точку k - середину ребра aa₁ и точку b таким образом, чтобы она была параллельна диагонали куба abcda₁b₁c₁d₁, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите вектор, направленный по диагонали куба abcda₁b₁c₁d₁. Для этого вычтите координаты начальной точки (например, точку a) из координат конечной точки (например, точки d₁). Обозначим полученный вектор как u.

2. Найдите вектор, направленный от точки aa₁ до точки b. Для этого вычтите координаты точки aa₁ из координаты точки b. Обозначим этот вектор как v.

3. Найдите векторное произведение векторов u и v. Обозначим его как w.

4. Постройте плоскость α, проходящую через точку k и параллельную вектору w. Для этого используйте уравнение плоскости в параметрической форме, принимая начальную точку k и находя координаты вектора w.

5. Получите уравнение плоскости α в общем виде, заменив параметры на координаты точек.

Например: Предположим, что координаты точек a(-1, 3, 2), a₁(-1, 2, 2), b(2, 4, 6) и d₁(3, 5, 8) в пространстве. Требуется провести плоскость α через точку k - середину ребра aa₁ и точку b таким образом, чтобы она была параллельна диагонали куба abcda₁b₁c₁d₁.

1. Найдем вектор u, направленный по диагонали куба:
u = d₁ - a = (3, 5, 8) - (-1, 3, 2) = (3 + 1, 5 - 3, 8 - 2) = (4, 2, 6)

2. Найдем вектор v, направленный от точки aa₁ до точки b:
v = b - aa₁ = (2, 4, 6) - (-1, 2, 2) = (2 + 1, 4 - 2, 6 - 2) = (3, 2, 4)

3. Вычислим векторное произведение векторов u и v:
w = u × v = (4, 2, 6) × (3, 2, 4) = (2(4) - 2(2), 4(4) - 3(6), 4(2) - 3(3)) = (0, -2, 2)

4. Построим плоскость α, проходящую через точку k и параллельную вектору w. Пусть координаты точки k равны (-1, 2, 2). Тогда, используя уравнение плоскости в параметрической форме, плоскость α будет иметь вид:
α: x = -1 + 0t, y = 2 - 2t, z = 2 + 2t

5. Получим уравнение плоскости α в общем виде, заменив параметры на координаты точек:
α: x + y = 4

Совет: Для удобства решения подобных задач, создайте координатную систему и внимательно следите за вычислениями векторов и координат точек.

Закрепляющее упражнение: Проведите плоскость β через середину ребра bc₁ и точку d₁ так, чтобы она была параллельна диагонали куба abcda₁b₁c₁d₁. Предоставьте уравнение плоскости β в общем виде. Координаты точек a(-1, 3, 2), b(2, 4, 6), c₁(3, 5, 4) и d₁(3, 5, 8).