Постройте диаграмму функции y = (х – 4)2 + 4. Используя диаграмму, определите: а) корни функции; б) интервалы

Тема занятия: График функции

Инструкция: Для построения графика функции y = (x - 4)^2 + 4 сначала нужно составить таблицу значений функции, а затем нарисовать график, используя эти значения.

а) Корни функции - это значения x, при которых функция равна нулю. Для нахождения корней, нужно решить уравнение (x - 4)^2 + 4 = 0. При решении этого уравнения можно использовать метод полного квадрата или факторизацию.

б) Интервалы с постоянным знаком функции будут зависеть от значения выражения (x - 4)^2. Если (x - 4)^2 > 0, то функция имеет постоянный знак, либо положительный, либо отрицательный. Если (x - 4)^2 < 0, то функция не имеет постоянного знака.

в) Интервалы возрастания и убывания функции можно определить, исследуя производную функции. Если производная положительна, то функция возрастает, а если производная отрицательна, то функция убывает.

г) Область значений функции - это все возможные значения y, которые функция может принимать. В данной функции, так как "х^2" всегда положительно, то значение (x - 4)^2 + 4 всегда больше или равно 4, следовательно, область значений - это все значения больше или равно 4.

Демонстрация:
а) Корни функции: решаем уравнение (x - 4)^2 + 4 = 0 и получаем x = 4.
б) Функция имеет постоянный положительный знак на интервале (-∞, 4) и постоянный отрицательный знак на интервале (4, +∞).
в) Функция возрастает на интервале (-∞, 4) и убывает на интервале (4, +∞).
г) Область значений функции: y ≥ 4.

Совет: Чтобы лучше понять график функции, можно использовать специальные программы и онлайн-инструменты для построения графиков. Также полезно усвоить основные свойства графиков функций, такие как форма параболы, сдвиги и изменения масштаба.

Задание: Постройте график функции y = x^2 + 3x - 2 и определите корни функции, интервалы, на которых функция имеет постоянный знак, интервалы возрастания и убывания, а также область значений функции.

Предмет вопроса: Построение и анализ диаграммы функции

Разъяснение:
Для начала построим диаграмму функции y = (х – 4)² + 4.

1. Найдем вершину параболы. Уравнение данной функции имеет вид y = a(x - h)² + k, где (h, k) - координаты вершины. В данном случае a = 1, h = 4, k = 4.
Таким образом, вершина параболы будет иметь координаты (4, 4).

2. Определим корни функции. Для этого решим уравнение (х – 4)² + 4 = 0:
(х – 4)² = -4. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат суммы двух чисел не может быть отрицательным.

3. Определим интервалы, на которых функция имеет постоянный знак. Посмотрим значения функции в разных интервалах:
- Если х < 4, то (х – 4)² > 0, следовательно, функция положительна.
- Когда х = 4, значение функции равно 4.
- Если х > 4, то (х – 4)² > 0, следовательно, функция положительна.
Таким образом, функция положительна при х < 4 и х > 4, и равна 4 при х = 4.

4. Определим интервалы, на которых функция возрастает и убывает. Поскольку коэффициент а равен 1, то парабола будет направлена вверх и будет увеличиваться при увеличении х. То есть, функция возрастает на всей числовой прямой и не имеет интервалов убывания.

5. Определим область значений функции, то есть множество всех возможных значений y. Так как парабола направлена вверх и вершина находится в точке (4, 4), то значение y на функции будет больше или равно 4.

Например:
Построить диаграмму функции y = (х – 4)² + 4 и определить все величины, указанные в условии задачи.

Совет:
Для более понятного понимания параболы может быть полезно ознакомиться с основными свойствами параболических функций и уметь анализировать уравнение функции по его виду.

Ещё задача:
Постройте диаграмму функции y = -2(x + 3)² + 5 и найдите все необходимые величины: корни, интервалы с постоянным знаком, интервалы возрастания и убывания, а также область значений функции.