Определите значения экстремумов и изобразите график функции y=2x^2e^x схематически. Запишите значения точек экстремумов

Тема вопроса: Экстремумы функции

Описание:
Для определения экстремумов функции необходимо выполнить несколько шагов. Сначала найдем производную функции y=2x^2e^x, а затем приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремумов.

Производная функции y=2x^2e^x можно найти с помощью правила производной произведения функций, где первая функция - это 2x^2, а вторая функция - e^x. Производная произведения функций равна произведению производных функций. Итак, начнем с первой функции:

(f*g)" = f"*g + f*g"

Дифференцируем первую функцию, используя правило степенной функции:

(f^k)" = k * f^(k-1) * f"

Применяя это правило, получаем:

(2x^2)" = 2 * 2x^(2-1) * 1 = 4x

Теперь найдем производную второй функции, используя правило производной экспоненты:

(e^x)" = e^x

Получившиеся производные функций складываем для получения производной исходной функции:

y" = 4x * e^x + 2x^2 * e^x

Теперь приравняем производную функции к нулю и найдем значения x:

4x * e^x + 2x^2 * e^x = 0

Xmin = 0
Xmax ≈ -2.955

Теперь найдем значения y в точках экстремумов, подставив полученные значения x в исходную функцию:

ymin = 2 * (0)^2 * e^(0) = 0
ymax ≈ 2 * (-2.955)^2 * e^(-2.955)

Чтобы изобразить график функции схематически, построим координатную плоскость и отметим полученные точки экстремумов.

Доп. материал:
Дана функция y=2x^2e^x. Определите значения экстремумов и изобразите график функции схематически. Найдите значения точек экстремумов (при необходимости округлите результат до десятых, используя значение e=2,7): xmin=0 ; ymin=0 ; xmax≈-2,96 ; ymax≈49,7. Промежуток возрастания: (-∞; -2)∪(2; +∞).

Совет:
Для лучшего понимания материала, рекомендуется изучить основные правила дифференцирования функций и ознакомиться с методами определения экстремумов.

Проверочное упражнение:
Определите значения экстремумов и изобразите график функции y=3x^2e^(-x) схематически. Запишите значения точек экстремумов (при необходимости округлите до десятых, используя e=2,7): xmin=? ; ymin=? ; xmax=? ; ymax=? . Укажите промежутки возрастания (выберите один вариант): (−∞; −2)∪(0; +∞) (−∞; −2)∪(3; +∞) (−2; 0)∪(0; +∞).