Определите тип неопределенности, к которому относится данный предел. Если нет никакой неопределенности, то укажите

Суть вопроса: Неопределенности пределов функций

Пояснение: Определение неопределенности предела функции является важным понятием в математике. Неопределенность возникает, когда при подсчете предела функции получаем неопределенную форму, то есть нельзя однозначно определить значение предела. Существуют несколько типов неопределенностей пределов:

1) Тип 0/0: Это наиболее распространенный тип неопределенности. Он возникает, когда числитель и знаменатель функции оба стремятся к нулю. Для решения таких пределов необходимо применять правило Лопиталя. Пример: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

2) Тип бесконечность/бесконечность: В этом случае как числитель, так и знаменатель функции стремятся к бесконечности. Чтобы решить такие пределы, необходимо применять правило Лопиталя или преобразовывать исходное выражение. Пример: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$.

3) Тип 0 * бесконечность: В этом случае числитель функции стремится к нулю, а знаменатель - к бесконечности. Для решения таких пределов можно применять различные алгебраические преобразования или разложения в ряды. Пример: $\lim_{x \to \infty} x \cdot \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)$.

4) Тип 1 в степени бесконечности: В этом случае число возводится в степень, которая стремится к бесконечности. Обычно здесь применяют метод эквивалентных преобразований или разложение в ряды. Пример: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$.

5) Тип бесконечность - бесконечность: В этом случае функция принимает вид $\infty - \infty$. Для решения таких пределов необходимо применять алгебраические преобразования или замены переменных. Пример: $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$.

6) Тип 0^0: В этом случае функция принимает вид $0^0$. Решение таких пределов может быть нетривиальным и требовать дальнейших преобразований или применения теоремы Лопиталя. Пример: $\lim_{x \to 0} x^x$.

Если в пределе отсутствует какая-либо неопределенность, то можно просто вычислить значение функции в данной точке и указать его.

Например: Определите тип неопределенности и вычислите предел функции $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

Совет: Для успешного решения неопределенных пределов рекомендуется знать основные правила арифметики и дифференциального исчисления, а также принципы работы с разложениями в ряды и эквивалентными преобразованиями.

Практика: Определите тип неопределенности и вычислите предел функции $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x^2}{3x^3 + 5x}$.