Определите, какие из нижеперечисленных утверждений верны, а какие ложны. Обоснуйте свой ответ. а) Отношение х кратно

Тема: Отношение "х кратно у" на множестве натуральных чисел.

Объяснение: Отношение "х кратно у" на множестве натуральных чисел определяется так: если остаток от деления числа x на число y равен нулю, то говорят, что x кратно y.

а) Утверждение верно. Пусть x - произвольное натуральное число. Тогда x делится на себя, поэтому отношение "х кратно у" является рефлексивным. Если x кратно y, а y кратно z, то x также будет кратно z, так как если число делится на y и y делится на z, то оно также будет делиться на z, поэтому отношение "х кратно у" является транзитивным.

б) Утверждение верно. Отношение "х кратно у" не является антисимметричным, потому что если x кратно y и y кратно x, то это не означает, что x равно y (например, 4 кратно 2, но 2 не кратно 4). Для транзитивности отношения требуется, чтобы если x кратно y, и y кратно z, то x также должно быть кратно z.

в) Утверждение ложно. Отношение "х кратно у" не является отношением порядка, потому что оно не обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.

Совет: Для понимания отношения "х кратно у" полезно запомнить определение: x кратно y, если остаток от деления x на y равен нулю.

Задача на проверку: Определите, является ли отношение "х кратно у" на множестве натуральных чисел симметричным. Обоснуйте свой ответ.