Необходимо показать, что для произвольного натурального числа, взятого в 2021 году, всегда можно расположить их в круг

Тема урока: Доказательство чётности суммы двух соседних чисел

Пояснение:

Чтобы показать, что для произвольного натурального числа, взятого в 2021 году, всегда можно расположить их в круг таким образом, что найдутся два соседних числа, сумма которых будет четным числом, рассмотрим следующую логику.

Возьмем любое натуральное число N, взятое в 2021 году, и упорядочим числа от 1 до N в круг. Затем рассмотрим пары соседних чисел (1, 2), (2, 3), ..., (N-1, N), (N, 1). В каждой паре одно число четное, а другое нечетное, поскольку четные и нечетные числа чередуются.

Рассмотрим суммы этих пар чисел. В каждой паре сумма двух чисел будет равна нечетному числу (нечетное + четное = нечетное).

Теперь докажем, что среди этих сумм найдется хотя бы одна четная сумма. Рассмотрим два случая:

1. Если N - четное число: Тогда количество пар соседних чисел будет равно N, а следовательно, количество сумм будет также равно N. Так как количество сумм равно количеству чисел, то среди них обязательно найдется четное число сумм.

2. Если N - нечетное число: Тогда количество пар соседних чисел будет равно N, а следовательно, количество сумм будет равно N. Так как количество сумм равно количеству чисел, то все суммы будут нечетными. Но у нас есть еще одна пара чисел, а именно (N, 1). Сумма этих чисел будет равна N + 1, которая является четным числом.

Таким образом, в обоих случаях найдется хотя бы одна четная сумма двух соседних чисел, что подтверждает наше утверждение.

Пример:
Пусть N=7. Мы можем расположить числа от 1 до 7 в круг следующим образом: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 1. Суммы соседних чисел будут: 1+2=3, 2+3=5, 3+4=7, 4+5=9, 5+6=11, 6+7=13, 7+1=8. В этом примере существует сумма 8, которая является четным числом.

Совет:
Чтобы лучше понять и запомнить этот факт, рассмотрите несколько примеров с разными значениями N. Если они не убедительны для вас, попробуйте придумать контрпример и увидеть, как он будет противоречить нашему утверждению.

Проверочное упражнение:
Возьмите натуральное число N, в котором каждая цифра четная. Упорядочьте числа от 1 до N в круг и найдите два соседних числа, сумма которых будет четным числом.