Необходимо подтвердить, что прямая AB параллельна плоскости, которая проходит через середины отрезков AD, BD и CD, даже

Тема урока: Параллельность прямой и плоскости

Разъяснение: Для подтверждения параллельности прямой AB плоскости, проходящей через середины отрезков AD, BD и CD, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите координаты точек A, B, C и D. Обозначим A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) и D(x4, y4, z4).
2. Найдите координаты середин отрезков AD, BD и CD. Обозначим M1, M2 и M3 соответственно. Для нахождения M1 используем формулы средней точки:
M1 = ((x1 + x4) / 2, (y1 + y4) / 2, (z1 + z4) / 2)
Аналогично находим M2 и M3.
3. Постройте векторы AB, AM1, BM2, CM3. Для этого вычитаем координаты начальной точки из координат конечной точки.
Вектор AB: (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
Вектор AM1: (x1 - ((x1 + x4) / 2), y1 - ((y1 + y4) / 2), z1 - ((z1 + z4) / 2))
Аналогично находим векторы BM2 и CM3.
4. Проверьте, являются ли векторы AB, AM1, BM2, CM3 коллинеарными (т.е. лежат ли они на одной прямой). Для этого используем определитель матрицы 3x3, составленной из координат векторов:
| (x2 - x1) (y2 - y1) (z2 - z1) |
| (x1 - ((x1 + x4) / 2)) (y1 - ((y1 + y4) / 2)) (z1 - ((z1 + z4) / 2)) |
| (x1 - ((x1 + x4) / 2)) (y1 - ((y1 + y4) / 2)) (z1 - ((z1 + z4) / 2)) |
Если определитель равен нулю, то векторы коллинеарны, а значит, прямая AB параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков AD, BD и CD.

Например: Пусть точки A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9) и D(10, 11, 12). Нужно подтвердить, что прямая AB параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков AD, BD и CD.
1. Найдем координаты середин отрезков: M1((1 + 10) / 2, (2 + 11) / 2, (3 + 12) / 2) = M1(5.5, 6.5, 7.5)
2. Построим векторы: AB(4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = AB(3, 3, 3) и AM1(1 - 5.5, 2 - 6.5, 3 - 7.5) = AM1(-4.5, -4.5, -4.5)
3. Вычислим определитель матрицы | (3, 3, 3) | = 0.
| (-4.5, -4.5, -4.5) |
| (-4.5, -4.5, -4.5) |
Определитель равен нулю, что означает, что векторы AB и AM1 коллинеарны, и прямая AB параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков AD, BD и CD.

Совет: При выполнении подобных задач полезно использовать геометрические представления и визуализации. Можно нарисовать трехмерную координатную плоскость и отметить на ней точки A, B, C и D, а также построить векторы AB, AM1, BM2, CM3. Таким образом, будет проще представить, как эти векторы связаны друг с другом и понять, почему определитель матрицы отражает коллинеарность векторов и параллельность прямой и плоскости.

Дополнительное упражнение: Найдите параллельна ли прямая AB плоскости, проходящей через середины отрезков AC, BD и CD, если точки A(-1, 2, 3), B(4, -5, 6), C(7, 8, -9) и D(-10, 11, 12).