Найти максимумы и минимумы функций: 1) f(x)=x^3-3x^2+32x+2. 2) f(x)=x^2*e^x

Тема: Нахождение максимумов и минимумов функций

Объяснение:
Чтобы найти максимумы и минимумы функций, мы должны сначала найти производную функции и приравнять ее к нулю. Затем мы проверим значения функции слева и справа от найденных критических точек, чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом.

1) Для функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x + 2:

Шаг 1: Найдем производную функции, взяв производную каждого слагаемого:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 32

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
3x^2 - 6x + 32 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:
D = (-6)^2 - 4 * 3 * 32 = 36 - 384 = -348
Так как дискриминант D отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Значит, у функции нет критических точек, следовательно, она либо строго возрастает, либо строго убывает на всей числовой оси.

2) Для функции f(x) = x^2 * e^x:

Шаг 1: Найдем производную функции, используя правило производной произведения:
f'(x) = (x^2)' * e^x + x^2 * (e^x)'
f'(x) = 2x * e^x + x^2 * e^x = x * (2 + x) * e^x

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
x * (2 + x) * e^x = 0

Шаг 3: Для этого уравнения, мы имеем три случая:
- x = 0
- 2 + x = 0, значит, x = -2 (критическая точка)
- e^x = 0, это уравнение не имеет решения, так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю.

Значит, у функции есть одна критическая точка x = -2. Для определения, является ли она максимумом или минимумом, необходимо проверить значения функции слева и справа от этой точки.

Совет: При нахождении максимумов и минимумов функций, всегда будьте внимательны и проверяйте значения функции слева и справа от найденных критических точек. Это поможет правильно определить, является ли точка максимумом или минимумом.

Упражнение: Найдите максимумы и минимумы функции f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 16x + 3.