Найдите значение выражения: (тан π/15 + тан 4π/15) / (1 - тан π/15 · тан 4π/15

Содержание: Тригонометрическая функция тангенс

Разъяснение: Чтобы найти значение данного выражения, мы будем использовать тригонометрическую формулу тангенса двойного угла. Формула для тангенса двойного угла выглядит следующим образом:

тан 2α = (2 * тан α) / (1 - тан² α),

где α - угол.

Сначала нам нужно найти значения тангенсов для углов π/15 и 4π/15. Подставим эти значения в формулу и решим её:

тан π/15 = √3 - 1,
тан 4π/15 = √3 + 1.

Подставим эти значения в исходное выражение:

(тан π/15 + тан 4π/15) / (1 - тан π/15 * тан 4π/15) = ((√3 - 1) + (√3 + 1)) / (1 - (√3 - 1)(√3 + 1)).

Упростим числитель и знаменатель:

(2√3) / (1 - (3 - 1)) = (2√3) / (2) = √3.

Таким образом, значение данного выражения равно √3.

Демонстрация:
Рассчитайте значение выражения: (тан π/15 + тан 4π/15) / (1 - тан π/15 · тан 4π/15).

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить тригонометрические формулы, рекомендуется учить их доказательства. Это поможет вам легче применять эти формулы при решении задач.

Задание для закрепления: Найдите значение выражения: (тан π/8 + тан 3π/8) / (1 - тан π/8 · тан 3π/8).