Найдите все целочисленные значения параметра a, при которых квадратные трехчлены x2 + ax + b и x2 + bx + 1100 имеют

Тема урока: Квадратные трехчлены с общим корнем

Описание: Чтобы два квадратных трехчлена имели общий корень, и этот корень являлся простым числом, нужно, чтобы он был корнем обоих уравнений одновременно.

Пусть общий корень равен p, где p - простое число. Тогда у нас есть два уравнения:

1. x^2 + ax + b = 0
2. x^2 + bx + 1100 = 0

Очевидно, что p является корнем обоих уравнений. Подставим p в оба уравнения:

1. p^2 + ap + b = 0
2. p^2 + bp + 1100 = 0

Теперь посмотрим на разность этих двух уравнений:

(p^2 + ap + b) - (p^2 + bp + 1100) = 0
ap - bp + b - 1100 = 0
p(a - b) + b - 1100 = 0

Если a и b не равны друг другу, то это равносильно p = (1100 - b) / (a - b), где p - целое число. Простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. Найдем все возможные значения параметра a, при которых получившееся выражение делится без остатка на одно из этих простых чисел.

Пример: Найдите все целочисленные значения параметра a, при которых квадратные трехчлены x^2 + ax + b и x^2 + bx + 1100 имеют общий корень, являющийся простым числом.

Совет: Чтобы упростить решение задачи, выразите значения параметров в виде выражений, используя простые числа, и проверьте деление без остатка с помощью остатка от деления.

Задание: Найдите все целочисленные значения параметра a, при которых квадратные трехчлены x^2 + ax + b и x^2 + bx + 2420 имеют общий корень, являющийся простым числом.