Найдите уравнение касательной и нормали к графику функции f(x)=tgx в точке с абсциссой x0=п/4x0=п/3

Содержание: Уравнение касательной и нормали

Описание: Чтобы найти уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке, мы будем использовать производную функции. Производная показывает скорость изменения функции в каждой точке. Уравнение касательной будет иметь форму y - y₀ = m(x - x₀), где (x₀, y₀) - координаты точки касательной, а m - значение производной в этой точке. Уравнение нормали будет уравнением прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через заданную точку. Его форма будет y - y₀ = -1/m(x - x₀).

Например:

У нас дана функция f(x) = tg(x) и точка с абсциссой x₀ = п/4.
Для начала найдём производную функции, используя правило производной для тангенса:
f"(x) = sec²(x)

Теперь подставим значение x₀=п/4 в производную, чтобы найти значение производной в этой точке:
f"(п/4) = sec²(п/4) = 2

Теперь у нас есть значение производной m = 2. В точке x₀ = п/4 касательная имеет уравнение y - y₀ = m(x - x₀).
Подставим значения:
y - f(п/4) = 2(x - п/4)

Уравнение касательной: y - tg(п/4) = 2(x - п/4)

Теперь найдём уравнение нормали, которая будет перпендикулярна касательной и проходит через ту же точку.
У нормали значение производной будет -1/m = -1/2.
Её уравнение будет выглядеть так:
y - y₀ = -1/2(x - x₀)

Уравнение нормали: y - tg(п/4) = -1/2(x - п/4)

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется углубиться в изучение производных и уравнений прямых. Практикуйтесь в нахождении уравнений касательных и нормалей для различных функций и точек на графике.

Задача для проверки: Найдите уравнение касательной и нормали к графику функции f(x) = ln(x) в точке с абсциссой x₀ = 2.