Найдите расстояние от точки О до плоскости, если точка О удалена от вершин прямоугольного треугольника ABC с катетами

Задача: Найдите расстояние от точки O до плоскости, если точка O удалена от вершин прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = 12 см и AC = 5 см на расстояние (корень из 194, деленное на 2) см.

Разъяснение: Чтобы найти расстояние от точки O до плоскости, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости.

Первым шагом нам нужно найти уравнение плоскости, на которой лежит треугольник ABC. Мы знаем, что этот треугольник - прямоугольный, поэтому у нас есть две известные вершины: A (0,0) и B (12,0). Найдем третью вершину С.

Известно, что точка O находится на удалении (корень из 194, деленное на 2) от вершин AB и AC. Давайте посмотрим на треугольник OAC. Мы знаем, что длина ОС равна (корень из 194, деленное на 2). Поскольку треугольник АОС - прямоугольный и AB является катетом, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину ОА.

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Для этого нам понадобится уравнение плоскости и координаты точки O.

Например: Давайте вычислим расстояние от точки O до плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(0,0), B(12,0) и C(0,5):

AB = (0,0) - (12,0) = (12,0)
AC = (0,0) - (0,5) = (0,5)
Найдем нормаль к этой плоскости:
N = AB × AC = (12,0) × (0,5) = -6

Теперь, когда у нас есть уравнение плоскости и координаты точки O, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости.

Уравнение плоскости: -6x + 0y + 5z = 0
Координаты точки O: (0,0,√194/2)

Подставим значения в формулу:
d = (|-6 * 0 + 0 * 0 + 5 * (√194/2)|) / √((-6)^2 + 0^2 + 5^2)
d = (|5 * (√194/2)|) / √(36 + 0 + 25)
d = (5 * (√194/2)) / √61
d = (5 * √194) / (2 * √61)

Ответ: Расстояние от точки O до плоскости равно (5 * √194) / (2 * √61) см.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить формулу для расстояния от точки до плоскости, рекомендуется регулярно практиковать такие задачи и изучать геометрию и алгебру. Понимание концепции плоскости и применение теоремы Пифагора также помогут в решении подобных задач.

Проверочное упражнение: Найдите расстояние от точки P(2,3,4) до плоскости, проходящей через точки A(1,1,1), B(2,3,5) и C(4,6,2).