Найдите наименьшую возможную длину отрезка от центра окружности до точки M, где окружность с центром в первой

Содержание: Расстояние от центра окружности до точки на плоскости

Разъяснение: Чтобы найти наименьшую возможную длину отрезка от центра окружности до точки М, мы должны построить все необходимые геометрические фигуры и использовать их свойства для нахождения ответа.

1. Начнем с построения графика гипербол y = 20/x и y = 25/x на плоскости. Обе гиперболы пересекаются с осью Ox в положительной части плоскости. Обозначим точки пересечения гиперболы y = 20/x и гиперболы y = 25/x как A и B соответственно.


2. Далее, мы знаем, что окружность с центром в первой координатной четверти касается оси Ox. Это означает, что радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до оси Ox.

3. Поскольку точка M должна быть наименее удаленной от центра окружности, она должна находиться на прямой, соединяющей точки A и B и проходящей через начало координат O.


4. Мы можем заметить, что треугольник OAB является прямоугольным треугольником, поскольку отрезок OA - радиус окружности - перпендикулярен отрезку AB.

5. Найдем длину отрезка OA, используя геометрические свойства прямоугольного треугольника OAB. По теореме Пифагора:

OA^2 = AB^2 + OB^2

Поскольку точка A находится на гиперболе y = 20/x, мы знаем, что координаты точки A - (a, 20/a), где "a" - это известное значение. Аналогично, координаты точки B - (b, 25/b), где "b" - это другое известное значение.

6. Подставив координаты точек A и B в уравнение для OA^2 получим:

OA^2 = (b - a)^2 + (25/b)^2

7. Теперь можем перейти к нахождению минимальной длины отрезка. Для этого нужно произвести дифференцирование уравнения OA^2 по переменным "a" и "b", приравнять производные к нулю и решить полученную систему уравнений.

Производная по "a": d(OA^2)/da = 2(b - a) = 0 => a = b
Производная по "b": d(OA^2)/db = -2(b - a) + (50/b^3) = 0

Решая систему уравнений, можно найти значения "a" и "b", а затем подставить их в уравнение OA^2, чтобы найти минимальную длину отрезка.

Чтобы выполнить все эти вычисления, можно использовать калькулятор или компьютерную программу.

Дополнительный материал: Найдите минимальную длину отрезка от центра окружности до точки M для гиперболы y = 20/x и y = 25/x.

Совет: Для лучшего понимания материала рекомендуется изучить свойства гипербол и прямоугольных треугольников. Также важно быть внимательным при решении уравнений и проведении вычислений.

Проверочное упражнение: Даны гиперболы y = 16/x и y = 36/x. Найдите наименьшую возможную длину отрезка от центра окружности до точки M, где окружность с центром в первой координатной четверти касается оси Ox, пересекает гиперболу y = 16/x и гиперболу y = 36/x в точках A и B, соединяющихся прямой, проходящей через начало координат O.