Найдите длину проекции наклонной AC на плоскость альфа, а также угол, под которым наклонная AC наклонена к плоскости

Содержание вопроса: Проекция наклонной на плоскость

Инструкция: Чтобы найти длину проекции наклонной AC на плоскость альфа, нужно разложить вектор AC на две компоненты: одна компонента будет лежать в плоскости альфа, а другая - перпендикулярно к плоскости альфа. Проекция наклонной AC на плоскость альфа будет иметь длину компоненты в плоскости альфа.

Чтобы найти угол между наклонной AC и плоскостью альфа, можно использовать формулу:

cos(θ) = (n · AC) / (|n| * |AC|)

где n - нормальный вектор плоскости α, · обозначает скалярное произведение векторов, |n| - длина вектора n, |AC| - длина вектора AC.

Демонстрация:
Задана наклонная AC = (3, 2, -1) и плоскость α с нормальным вектором n = (2, -1, 4).

1. Найдем длину проекции наклонной AC на плоскость α:
Разложим вектор AC на две компоненты:
AC_α = (AC · n / |n|^2) * n = ((3*2 + 2*(-1) + (-1)*4) / (2^2 + (-1)^2 + 4^2)) * (2, -1, 4) = (1, -0.5, 2)
Длина проекции AC_α = |AC_α| = √(1^2 + (-0.5)^2 + 2^2) ≈ 2.45

2. Найдем угол между наклонной AC и плоскостью α:
cos(θ) = (n · AC) / (|n| * |AC|)
cos(θ) = ((2*3 + (-1)*2 + 4*(-1)) / (|n| * |AC|) = (0 / (√(2^2 + (-1)^2 + 4^2) * √(3^2 + 2^2 + (-1)^2))
θ = arccos(0) = 90°

Совет: Чтобы лучше понять проекции векторов на плоскость, рекомендуется представить плоскость и векторы в трехмерной системе координат. Также полезно повторить материал о скалярном произведении векторов и длине вектора.

Упражнение: Задана наклонная AB = (4, -2, 3) и нормальный вектор плоскости α равен n = (1, 0, -1). Найдите длину проекции наклонной AB на плоскость α и угол между наклонной и плоскостью.