На отрезке [12,6;51], найдите наибольшее значение функции вида y=√−2log0,5(5x+1). Ваша задача состоит в том, чтобы

Тема урока: Максимальное значение функции на отрезке

Разъяснение: Для нахождения наибольшего значения функции y=√−2log0,5(5x+1) на отрезке [12,6;51], нужно исследовать функцию в данном интервале и найти точку, в которой достигается максимум. Давайте выполним следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по переменной x. Производная функции представляет собой скорость изменения функции в каждой точке.
2. Приравняйте найденную производную к нулю и решите полученное уравнение относительно переменной x. Это даст вам точку, где производная равна нулю.
3. Проверьте вторую производную в полученной точке. Если вторая производная положительна, то это точка минимума, а если отрицательна, то это точка максимума.
4. Проверьте значения функции на границах интервала [12,6;51], чтобы знать, что максимум функции действительно достигается в интервале.

Демонстрация:
Задача: Найдите наибольшее значение функции y=√−2log0,5(5x+1) на отрезке [12,6;51].

Решение:
Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x.
y"= (-1/√(ln(0.5)) * 2 * (5x+1) * 5)
y" = -10 / (√ (ln(0.5)) * √ (5x+1))

Шаг 2: Прировняем y" к 0 и решим уравнение:
-10 / (√ (ln(0.5)) * √ (5x+1)) = 0
Сокращаем на -10 и √(ln(0.5)):
√ (5x+1) = 0
5x + 1 = 0
5x = -1
x = -1/5

Шаг 3: Проверим знак второй производной в найденной точке (-1/5).
y"" = (-10/√(ln(0.5)) * (-1/2) * (5x+1)^(-3/2) * 5)
y"" = 25 / (√(ln(0.5)) * (5x+1)^(3/2))
Подставим x = -1/5:
y"" = 25 / (√(ln(0.5)) * (5*(-1/5)+1)^(3/2))
y"" = 25 / (√(ln(0.5)) * (0)^(3/2))
y"" = 25 / (√(ln(0.5)) * 0)
y"" = Nonexistent (не существует)

Так как у нас нет второй производной в данной точке, мы не можем определить ее характер (точка минимума или максимума).

Шаг 4: Проверьте значения функции на границах интервала [12,6;51].
y(12,6) = √(-2log0,5(5*12,6+1)) ≈ 3,8
y(51) = √(-2log0,5(5*51+1)) ≈ 1,001

Наибольшим значением функции на отрезке [12,6;51] является 3,8, которое достигается в точке x ≈ 12,6.

Совет: Использование графиков может быть полезным для визуализации функции и ее поведения на интервале. Постройте график функции y=√−2log0,5(5x+1) на заданном интервале и найдите точку, где график достигает своего максимального значения.

Дополнительное задание: Найдите наибольшее значение функции y=√−2log0,5(5x+1) на интервале [0,10].