На отрезке [0, 2] найдите отношение наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 1/3x^3+x^2-3x+2

Содержание вопроса: Математика - Анализ функций

Объяснение: Для решения данной задачи нам необходимо найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = 1/3x^3+x^2-3x+2 на отрезке [0, 2]. Для начала, найдем значения функции при граничных точках отрезка.

При x = 0:
f(0) = 1/3 * 0^3 + 0^2 - 3 * 0 + 2 = 2

При x = 2:
f(2) = 1/3 * 2^3 + 2^2 - 3 * 2 + 2 = 2/3 * 8 + 4 - 6 + 2 = 16/3 + 4 - 6 + 2 = 22/3

Теперь найдем экстремумы функции, то есть точки, где происходит переход от убывания функции к возрастанию или наоборот. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f"(x) = x^2 + 2x - 3 = 0

Найдем корни этого уравнения с помощью квадратного трехчлена или графическим методом. Получим два значения: x = -3 и x = 1.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

При x = -3:
f(-3) = 1/3 * (-3)^3 + (-3)^2 - 3 * (-3) + 2 = -13

При x = 1:
f(1) = 1/3 * 1^3 + 1^2 - 3 * 1 + 2 = 1/3 + 1 - 3 + 2 = -2/3

Исходя из найденных значений, мы видим, что наименьшее значение функции равно -13, а наибольшее значение равно 22/3.

Совет: При решении данного типа задач полезно найти значения функции при граничных точках отрезка и также рассмотреть экстремумы функции, то есть точки, где происходит переход от убывания функции к возрастанию или наоборот.

Задание для закрепления: Найдите значения функции f(x) = 2x^3 - x^2 + 3 на отрезке [-1, 2].