Может ли равенство f(1) + f(-1) = 1 выполняться для нечетной функции f? И может ли равенство f(2) * f(-2

Тема урока: Нечетные функции и их свойства

Пояснение:

Нечетная функция - это функция, для которой выполняется свойство f(-x) = -f(x) для любого x из области определения функции. Это означает, что если мы возьмем отрицательное значение x и применим его к функции, то получим значение с противоположным знаком по сравнению с положительным x.

Посмотрим на первое уравнение f(1) + f(-1) = 1. Если функция f является нечетной, то получаем f(-1) = -f(1) и можем заменить это значение в исходное уравнение, что приведет к уравнению -f(1) + f(1) = 1. Здесь мы видим, что -f(1) и f(1) сокращаются, и у нас остается 0 = 1. Это противоречие, поэтому равенство f(1) + f(-1) = 1 не может выполняться для нечетной функции f.

Теперь рассмотрим уравнение f(2) * f(-2) = 3. Аналогично, если функция f является нечетной, то получаем f(-2) = -f(2). Заменяя это значение в исходное уравнение, получим -f(2) * f(2) = 3. Здесь можно увидеть, что -f(2) * f(2) = -f(2)^2, следовательно, равенство сводится к -f(2)^2 = 3, что невозможно. Поэтому равенство f(2) * f(-2) = 3 не может выполняться для нечетной функции f.

Вот почему оба эти равенства не могут выполняться для нечетной функции f.

Пример:

Уравнение f(x) = x^3 - x задано. Определите, является ли эта функция нечетной или четной.

Совет:

Для определения, является ли функция нечетной или четной, необходимо проверить свойство f(-x) = -f(x). Если это свойство выполняется для всех x в области определения функции, то функция является нечетной. Если же f(-x) = f(x), то функция является четной.

Дополнительное упражнение:

Определите, является ли функция f(x) = x^2 + 2x нечетной или четной.