Какую сумму образуют все значения n, для которых выражение n^4 - 27n^2 + 121 является простым числом? Если нет таких

Тема урока: Простые числа и алгебра

Разъяснение:
Для решения этой задачи нам нужно найти значения n, для которых выражение n^4 - 27n^2 + 121 является простым числом.

Для начала, давайте проанализируем данное выражение. Мы видим, что оно имеет вид квадратного трехчлена, и его можно записать в виде (n^2)^2 - 27n^2 + 121.

Заметим, что это выражение похоже на квадрат разности суммы квадратов и удвоенного произведения. Мы можем записать его как (n^2 - 11)^2 - 4n^2.

Теперь давайте рассмотрим этот квадрат разности. Мы знаем, что квадрат разности двух чисел может быть представлен в виде (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. В нашем случае a = n^2 и b = 11.

Подставив значения в формулу, мы получим (n^2 - 11)^2 = n^4 - 22n^2 + 121.

Теперь вернемся к исходному выражению (n^2)^2 - 27n^2 + 121 и заменим его на (n^2 - 11)^2 - 4n^2. Мы получаем выражение:

(n^2 - 11)^2 - 4n^2 - 27n^2 + 121

Раскрыв скобки, мы получим:

n^4 - 22n^2 + 121 - 4n^2 - 27n^2 + 121

n^4 - 53n^2 + 242

Теперь наша задача сводится к поиску значений n, при которых выражение n^4 - 53n^2 + 242 является простым числом.

Для нахождения всех таких значений нам необходимо вычислить данное выражение для различных значений n и проверить, являются ли результаты простыми числами. Если значение является простым числом, мы добавляем его к общей сумме значений n.

Доп. материал:
Задача: Найти сумму всех значений n, для которых выражение n^4 - 27n^2 + 121 является простым числом.

Совет:
Для решения подобных задач полезно знать основные свойства простых чисел и алгебраические приемы, такие как разность квадратов.

Проверочное упражнение:
Проверьте значения от 0 до 10 и определите, являются ли результаты выражения n^4 - 53n^2 + 242 простыми числами. Найдите сумму всех значений n, для которых результаты являются простыми числами. Если таких значений нет, запишите ответ в этом случае.