Какой объем производства приведет к максимальной прибыли фирмы, если ее прибыль (в миллионах рублей) зависит от объема

Тема вопроса: Максимизация прибыли фирмы

Инструкция:
Для определения объема производства, при котором фирма получит максимальную прибыль, мы должны найти точку, в которой функция прибыли достигает экстремального значения. В данной задаче представлена функция прибыли фирмы, заданная уравнением y = -x³ + 21x² - 72x - 150, где x - объем производства, y - прибыль.

Для нахождения экстремумов (минимумов и максимумов) кубической функции необходимо взять ее производную и равенство производной нулю.

Производная функции прибыли:
y' = -3x² + 42x - 72.

Теперь нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю:
-3x² + 42x - 72 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать факторизацию, квадратное уравнение или формулу дискриминанта. Решив данное уравнение, мы найдем две корня: x₁ и x₂.

После того, как мы определили эти корни, мы можем провести тестирование точек между корнями и за пределами корней, чтобы определить, где функция прибыли достигает своего максимального значения.

Найденные значения x₁ и x₂ будут точками экстремума. Мы можем найти прибыль, подставив каждое значение x в исходную функцию прибыли.

Пример использования:
Задача просит найти объем производства, при котором фирма получит максимальную прибыль. Мы можем использовать найденные значения x₁ и x₂ для подстановки и определения прибыли при каждом объеме производства.

Совет:
Для лучшего понимания этой задачи, рекомендуется знать квадратные уравнения, факторизацию и нахождение экстремумов функций. Решение задачи также может потребовать некоторых навыков аналитической геометрии.

Упражнение:
Подставьте значения x₁ и x₂ в исходное уравнение прибыли и определите прибыль, которую фирма получит при каждом из этих объемов производства.