Какой номер члена геометрической прогрессии следует указать для членов, начиная с которого значения становятся меньше?

Название: Номер члена геометрической прогрессии.

Инструкция: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (q).

Чтобы определить номер члена геометрической прогрессии, начиная с которого значения становятся меньше, необходимо учитывать знак знаменателя прогрессии.

Если 0 < q < 1 (знаменатель прогрессии по модулю меньше 1), то значения членов геометрической прогрессии убывают при увеличении номера. Соответственно, номерами, начиная с которых значения становятся меньше, являются все натуральные числа.

Если q > 1 (знаменатель прогрессии больше 1), то значения членов геометрической прогрессии возрастают при увеличении номера. В этом случае, чтобы определить номер члена, начиная с которого значения становятся меньше, необходимо использвоать логарифмическое выражение. Точный номер можно найти, решив логарифмическое неравенство q^(n-1) < a, где q - знаменатель прогрессии, а - значение, при котором значения становятся меньше.

Пример: Найдите номер члена геометрической прогрессии, начиная с которого значения становятся меньше 0.5 при знаменателе прогрессии q = 0.3.

Решение:
Необходимо решить неравенство 0.3^(n-1) < 0.5.
Переносим 0.3^(n-1) на одну сторону и 0.5 на другую, получаем:
0.3^(n-1) - 0.5 < 0.
Возведем обе части в степень 10 для удобства: 10^(0.3^(n-1) - 0.5) < 10^0.
Теперь левую часть можно записать просто как (0.3^(n-1) - 0.5).
Получается: 0.3^(n-1) - 0.5 < 1.
Теперь можно приравнять левую часть нулю:
0.3^(n-1) - 0.5 = 0.
Приравниваем полученное уравнение к 0 и решаем его:
0.3^(n-1) = 0.5.
Применяем логарифмирование обеих частей уравнения:
log(0.3^(n-1)) = log(0.5).
(n-1)*log(0.3) = log(0.5).
(n-1) = log(0.5)/log(0.3).
n = log(0.5)/log(0.3) + 1.

Таким образом, номер члена геометрической прогрессии, начиная с которого значения становятся меньше 0.5 при знаменателе прогрессии q = 0.3, равен log(0.5)/log(0.3) + 1.

Совет: Для более удобного решения таких задач можно использовать калькулятор с функцией логарифмирования.

Дополнительное упражнение: Найдите номер члена геометрической прогрессии, начиная с которого значения становятся меньше 0.2 при знаменателе прогрессии q = 0.8.