Какой наименьший корень уравнения lg(x-2)tgx=tgx удовлетворяет неравенству х^2-10x-24

Тема вопроса: Решение уравнения lg(x-2)tgx=tgx с учетом неравенства х^2-10x-24

Пояснение:
Для решения данного уравнения, сначала мы должны воспользоваться неравенством. После этого, мы можем найти корни уравнения, используя алгебраические методы.

Первым шагом будет решение неравенства:
x^2 - 10x - 24 > 0

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем воспользоваться методом факторизации или квадратного корня. Для этого уравнения, корни равны x = -2 и x = 12. Теперь у нас есть интервалы, определенные этими корнями.

Чтобы найти наименьшее значение х, которое удовлетворяет уравнению lg(x-2)tgx=tgx, мы должны проверить каждую точку в интервале (-2, 12) и узнать, где левая и правая части равны.

После проверки, мы находим, что x = 8 является единственным корнем, удовлетворяющим уравнению.

Пример:
Дано уравнение: lg(x-2)tgx=tgx, и неравенство х^2-10x-24 > 0. Найдите наименьший корень этого уравнения, удовлетворяющий неравенству.

Совет:
При решении уравнений с условиями или неравенствами, всегда обращайте внимание на ограничения, такие как неравенства. Исследуйте корни уравнения и проверьте их значения в начальное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют всем условиям.

Задача для проверки:
Решите уравнение и неравенство: 2x^2 + 5x - 3 > 0. Найдите наименьший корень, который удовлетворяет неравенству.

Тема вопроса: Решение квадратного уравнения и неравенства

Инструкция:
Для решения этой задачи сначала нашей задачей будет найти корни квадратного уравнения. Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. В нашем случае, коэффициенты равны a = 1, b = -10 и c = -24.

Чтобы найти корни уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
и формулы для нахождения корней:
x = (-b ± √D) / 2a

Для начала вычислим дискриминант D:
D = (-10)^2 - 4 * 1 * (-24) = 100 + 96 = 196

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня. Подставим значения в формулу и найдем корни:
x1 = (-(-10) + √196) / (2 * 1) = (10 + 14) / 2 = 24 / 2 = 12
x2 = (-(-10) - √196) / (2 * 1) = (10 - 14) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь мы найдем наименьший корень, который удовлетворяет неравенству x^2 - 10x - 24 < 0.
Мы можем представить данное неравенство в виде:
(x - x1)(x - x2) < 0

Для решения неравенства с помощью метода интервалов, нам нужно проанализировать знаки выражения (x - x1) и (x - x2) на интервалах, разбивая прямую на 3 интервала по найденным корням.

Интервал (-∞, -2):
(x - x1) < 0, так как x1 > -2
(x - x2) < 0, так как x2 < -2
Таким образом, на данном интервале неравенство выполняется: (x - x1)(x - x2) < 0

Интервал (-2, 12):
(x - x1) < 0, так как -2 < x1 < 12
(x - x2) > 0, так как -2 < x2 < 12
Таким образом, на данном интервале неравенство не выполняется: (x - x1)(x - x2) > 0

Интервал (12, +∞):
(x - x1) > 0, так как x1 < 12
(x - x2) > 0, так как x2 < 12
Таким образом, на данном интервале неравенство выполняется: (x - x1)(x - x2) > 0

Таким образом, основываясь на знаках выражения (x - x1)(x - x2) на каждом из интервалов, мы можем сделать вывод, что наименьший корень уравнения, который удовлетворяет данному неравенству, равен -2.

Например:
Найти наименьший корень для уравнения lg(x-2)tgx=tgx, удовлетворяющий неравенству x^2-10x-24 < 0.

Совет:
При работе с квадратными уравнениями и неравенствами, всегда старайтесь представить их в наиболее упрощенной форме, а также провести проверку знаков на интервалах для получения точного решения.

Задание для закрепления:
Найдите наименьший корень для уравнения lg(x-5)tgx = 3tgx, удовлетворяющий неравенству x^2 - 6x - 27 < 0.