Какой многочлен третьей степени можно определить, если известно, что его корни находятся в множестве {-1}?

Тема урока: Многочлен третьей степени с корнем -1

Инструкция:
Чтобы определить многочлен третьей степени с корнем -1, мы должны использовать информацию о множестве корней, чтобы построить многочлен.
Поскольку корень равен -1, это означает, что у многочлена есть множитель (x + 1). Поскольку это третья степень многочлена, его общая форма будет иметь вид:
f(x) = a(x + 1)(x - r1)(x - r2)
где a - коэффициент перед многочленом и r1 и r2 - другие два корня.

Так как нам неизвестно значение r1 и r2, мы просто назовем их x и y:
f(x) = a(x + 1)(x - x)(x - y)
= a(x + 1)(x^2 - xy)

Также нам дано, что это многочлен третьей степени, поэтому у нас есть один дополнительный неизвестный коэффициент - b.
f(x) = a(x + 1)(x^2 - xy)
= ax^3 + ax^2 - axy + ax + x^2 + xy

Ответ:
Многочлен третьей степени, у которого корень -1, может быть представлен в разложенном виде:
f(x) = ax^3 + (a + 1)x^2 + (xy + a)x + a

Совет:
Для лучшего понимания концепции многочленов и их корней рекомендуется изучить важные аспекты алгебры, такие как факторизация, разложение на множители, и теорема о множителях.

Задача для проверки:
Найдите многочлен четвертой степени, если его корни -2, 3 и 5.

Многочлен третьей степени с корнями в множестве {-1} и нулевым свободным членом

Описание:

Если мы знаем, что у многочлена третьей степени есть корень -1, то это означает, что (x + 1) является одним из его множителей. Поскольку многочлен третьей степени имеет 3 множителя (так как это многочлен третьей степени), остается 2 места для других множителей.

Чтобы найти остальные два множителя, мы можем разделить исходный многочлен на (x + 1). Результатом будет квадратный многочлен. Нулевой свободный член в исходном многочлене говорит о том, что его значение при x = 0 равно 0.

Давайте выполним деление. Предположим, что исходный многочлен имеет вид P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, где a, b, c и d - коэффициенты многочлена.

Мы знаем, что P(-1) = 0, поэтому подставим x = -1 в исходный многочлен: -a + b - c + d = 0.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти другие коэффициенты многочлена.

Произведем деление (поделим многочлен P(x) на (x + 1)) с помощью синтетического деления или долгого деления. Результат будет представлять собой квадратный многочлен, который можно факторизовать, чтобы найти оставшиеся множители.

Доп. материал:
У нас есть многочлен P(x), для которого известно, что корни находятся в множестве {-1}. Найти этот многочлен.

Совет:
Чтобы более лучше понять и применить этот метод, рекомендуется изучить сначала факторизацию многочленов и деление многочлена на линейный множитель.

Задача на проверку:
Найдите многочлен третьей степени с корнями -2, 1 и 3.