Каковы общие решения дифференциального уравнения yy = 1-2x/y?

Содержание вопроса: Решение дифференциального уравнения yy" = 1-2x/y

Описание: Для решения данного дифференциального уравнения yy" = 1-2x/y, мы сначала приведем его к более удобному виду и затем воспользуемся методом интегрирования.

Для начала, давайте перепишем уравнение в более компактной форме, заменив y"" на dy"/dx. Тогда уравнение примет вид y(dy"/dx) = 1 - 2x/y.

Далее, переместим y на одну сторону уравнения и dx на другую, чтобы получить dy/y = (1 - 2x/y)dx.

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения. Интегрирование левой стороны даёт нам ln|y|, а правой стороны интегрируем следующим образом: ∫(1 - 2x/y)dx = x - 2∫(x/y)dx.

Далее, интегрируем ∫(x/y)dx используя метод интегрирования по частям или применяя замену переменной. Полученное значение заменяем обратно в предыдущую формулу.

Если мы правильно выполним все интегрирования и замены, получим окончательное решение в виде ln|y| = x - 2∫(x/y)dx.

Пример: Решим дифференциальное уравнение yy" = 1 - 2x/y.

Совет: Когда решаете дифференциальные уравнения, внимательно проверяйте каждый шаг интегрирования и замены переменной, чтобы не допустить ошибок.

Закрепляющее упражнение: Решите следующее дифференциальное уравнение: y"" + 3y" + 2y = 0.