Каково уравнение кривой, которая проходит через начало координат и у которой угловой коэффициент касательной в каждой

Тема занятия: Уравнение кривой с угловым коэффициентом касательной

Разъяснение:
Чтобы найти уравнение кривой, которая проходит через начало координат и у которой угловой коэффициент касательной в каждой точке равен утроенной абсциссе точки касания, мы можем использовать дифференциальное уравнение.

Обозначим абсциссу точки касания как x и ординату как y. Выразим угловой коэффициент касательной (k) через x и y. Угловой коэффициент касательной в точке (x,y) будет равен производной функции y(x):

k = dy/dx

Также мы знаем, что y(0) = 0, так как кривая проходит через начало координат. Из условия задачи у нас также есть следующее соотношение:

k = 3x

Теперь мы можем решить дифференциальное уравнение и найти уравнение кривой. Проинтегрируем обе части уравнения:

dy/dx = 3x

Интегрируя, получим:

y = (3/2)x^2 + C

где C - произвольная константа.

Таким образом, уравнение кривой, которая проходит через начало координат и у которой угловой коэффициент касательной в каждой точке равен утроенной абсциссе точки касания, будет иметь вид:

y = (3/2)x^2

Дополнительный материал:
Найдите уравнение кривой, которая проходит через начало координат и у которой угловой коэффициент касательной в каждой точке равен утроенной абсциссе точки касания.

Совет:
Для понимания этой задачи важно знание дифференциального исчисления. Убедитесь, что вы знакомы с принципами дифференцирования и основными принципами решения дифференциальных уравнений. Используйте график или таблицу значений, чтобы визуализировать кривую и подтвердить правильность уравнения.

Задача на проверку:
Найти уравнение кривой, которая проходит через точку (2, 4) и имеет угловой коэффициент касательной в каждой точке, равный удвоенной ординате точки касания.