Каково уравнение эллипса, который проходит через точку P(3; 12/5) и касается прямой 4x + 5y = 25? Как найти точку

Содержание вопроса: Уравнение эллипса, касающегося прямой

Разъяснение:
Уравнение эллипса имеет следующий вид:
(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, где (h,k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси.

Чтобы найти уравнение эллипса, который проходит через точку P(3; 12/5) и касается прямой 4x + 5y = 25, мы должны найти координаты его центра и полуоси.

Для начала, найдем точку касания эллипса с прямой. Точка касания лежит одновременно на эллипсе и на прямой, поэтому координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям эллипса и прямой одновременно.

Подставляя координаты P(3; 12/5) в уравнение прямой 4x + 5y = 25, получим:
4*3 + 5*(12/5) = 25,
12 + 12 = 25,
24 = 25.

Уравнение не выполняется, поэтому эллипс не касается прямой 4x + 5y = 25.

Совет: Если уравнение эллипса, касающегося прямой, не выполняется для заданной прямой и точки, значит, такого эллипса не существует. В данном случае, нам необходимо использовать другую точку или поменять прямую.

Упражнение: Найдите уравнение эллипса, который проходит через точку P(4; 5) и касается прямой 3x + 2y = 10.

Содержание вопроса: Уравнение эллипса и его точка касания с прямой

Объяснение:
Уравнение эллипса имеет следующий вид:
((x - h)²)/a² + ((y - k)²)/b² = 1, где (h, k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси по осям x и y соответственно.

Хотим найти уравнение эллипса, который проходит через точку P(3; 12/5) и касается прямой 4x + 5y = 25.

Для того чтобы эллипс касался прямой, необходимо, чтобы расстояние от центра эллипса до данной прямой равнялось полуоси по высоте эллипса. Полуось по высоте равна b.

Первым шагом найдем уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 12/5) и перпендикулярной заданной прямой 4x + 5y = 25. Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид:
-4x + 5y = c.

Подставив координаты точки P в уравнение, получим:
-4 * 3 + 5 * (12/5) = c => -12 + 12 = c => c = 0.

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой: -4x + 5y = 0. Расстояние от (h, k) до прямой 4x + 5y = 0 равно b.

Далее найдем значение b, вычислив расстояние от точки P до прямой:
d = |ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2),
где (x1, y1) - координаты точки P.

Подставив значения в формулу, получим:
d = |4 * 3 + 5 * (12/5) + 0| / sqrt(4^2 + 5^2) =>
= |12 + 12 + 0| / sqrt(16 + 25) =>
= 24 / sqrt(41).

Таким образом, b = 24 / sqrt(41).

Также, использовав найденные значения b и центра эллипса, можем записать окончательное уравнение эллипса, касающегося данной прямой.

Доп. материал:
Задача 1: Найдите уравнение эллипса, который проходит через точку P(3; 12/5) и касается прямой 4x + 5y = 25.

Совет:
Чтобы более легко понять данный материал, рекомендуется изучить геометрическое представление эллипса и связанные с ним понятия, такие как полуоси, фокусы и центр эллипса.

Задача на проверку:
Задача 2: Найдите уравнение эллипса, который проходит через точку P(-2; 7/3) и касается прямой 3x + 2y = 10. Вам нужно найти координаты фокусов и длины полуосей этого эллипса.