Какова вероятность того, что случайная величина, полученная в результате эксперимента, будет находиться в интервале

Содержание: Вероятность случайной величины находиться в заданном интервале

Объяснение:
Вероятность того, что случайная величина будет находиться в заданном интервале [a,b] может быть вычислена с использованием функции распределения вероятностей (CDF). Для непрерывной случайной величины это можно сделать с помощью интеграла.
Для данной задачи, где математическое ожидание и дисперсия известны, мы можем использовать нормальное распределение. Пусть X - случайная величина с нормальным распределением.

Формула:
Для нормально распределенной случайной величины X с математическим ожиданием μ и дисперсией σ^2, вероятность P(X ∈ [a,b]) может быть найдена с помощью функции распределения нормального распределения следующим образом:

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)

где Φ(z) - это функция распределения стандартного нормального распределения.

Демонстрация:
Найдем вероятность того, что случайная величина X будет находиться в интервале [12, 14], если ее математическое ожидание равно 10 и дисперсия равна 4.
Мы можем использовать нормальное распределение со средним значением 10 и стандартным отклонением 2 (так как корень из дисперсии равен стандартному отклонению).

P(12 ≤ X ≤ 14) = Φ((14-10)/2) - Φ((12-10)/2)
P(12 ≤ X ≤ 14) = Φ(2) - Φ(1)

Рассчитаем значения функции распределения нормального распределения для z=2 и z=1 и вычислим разницу:

P(12 ≤ X ≤ 14) = 0.9772 - 0.8413
P(12 ≤ X ≤ 14) ≈ 0.1359

Таким образом, вероятность того, что случайная величина будет находиться в интервале [12, 14], равна примерно 0.1359.

Совет:
Для лучшего понимания вероятности случайной величины, находящейся в заданном интервале, рекомендуется изучить функцию распределения вероятностей и нормальное распределение более подробно. Обратите внимание на то, что значения функции распределения вероятностей должны находиться в диапазоне от 0 до 1.

Задача для проверки:
Найдите вероятность того, что случайная величина с математическим ожиданием 8 и дисперсией 9 будет находиться в интервале [6, 10].