Какова третья координата орта вектора, в направлении которого функция u = 3^(x^(2)-y^(2)-z) быстрее всего убывает

Третья координата орта вектора, в направлении которого функция u = 3^(x² - y² - z) быстрее всего убывает в точке M(1, 2, 3).

Пояснение:
Чтобы определить направление, в котором функция u быстрее всего убывает в точке M(1, 2, 3), мы можем использовать градиент функции. Градиент представляет собой вектор, который указывает на направление наиболее быстрого убывания функции в данной точке.

Первым шагом мы вычисляем градиент функции u. Для этого находим частные производные функции u по каждой из переменных x, y и z.

∂u/∂x = 3^(x² - y² - z) * 2x
∂u/∂y = 3^(x² - y² - z) * (-2y)
∂u/∂z = -3^(x² - y² - z)

Затем строим вектор градиента:

∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (3^(x² - y² - z) * 2x, 3^(x² - y² - z) * (-2y), -3^(x² - y² - z))

Теперь, чтобы определить направление, в котором функция u быстрее всего убывает, нам нужно найти нормализованный вектор градиента, то есть вектор с той же направленностью, но единичной длины.

Нормализованный вектор градиента определяется следующим образом:

n = (∇u) / ||∇u||

где ||∇u|| - это длина вектора градиента ∇u.

Теперь мы можем определить третью координату орта вектора (т.е. z-координату), в направлении которого функция u быстрее всего убывает в точке M(1, 2, 3), установив x=1, y=2 и решив уравнение:

n₁ / n₃ = ∂u/∂x / ∂u/∂z

где n₁ и n₃ - первая и третья координаты нормализованного вектора градиента соответственно.

Применяя данную формулу в нашем случае, получаем:

(3^(1² - 2² - z) * 2 * 1) / (-3^(1² - 2² - z)) = -2 / 1

Упрощая уравнение, получаем:

3^(1 - 4 + z) = -2

Решая данное уравнение, получаем:

3^z = -8

Исходя из этого уравнения, третья координата орта вектора, в направлении которого функция u = 3^(x² - y² - z) быстрее всего убывает в точке M(1, 2, 3), равна z = log₃(-8).

Пример:
Условие задачи: Найти третью координату орта вектора, в направлении которого функция u = 3^(x² - y² - z) быстрее всего убывает в точке M(1, 2, 3).

Совет:
Для лучего понимания данной задачи и подобных задач по дифференциальному исчислению, рекомендуется изучить теорию о градиенте функции и его связи с направлением максимального изменения функции в заданной точке.

Проверочное упражнение:
Найдите градиент функции u = x² + 2y - 3z в точке P(1, -2, 3). Определите направление, в котором функция u быстрее всего убывает.