Какова площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = -1, x = 2 и параболой y = 9 - x^2?

Тема вопроса: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = -1, x = 2 и параболой y = 9 - x^2

Объяснение: Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными кривыми, мы используем интегралы. В данной задаче кривые заданы как x = -1, x = 2 и y = 9 - x^2.

Для начала, построим график данной параболы и прямых, чтобы визуализировать область, ограниченную ими.

На графике можно заметить, что ось x, прямые x = -1 и x = 2 образуют две вертикальные стороны криволинейной трапеции, а парабола y = 9 - x^2 образует верхнюю кривую сторону.

Чтобы найти площадь области ограниченной заданными кривыми, мы интегрируем функцию, представляющую параболу, от x = -1 до x = 2. Формула для расчета площади будет следующей:

Площадь = ∫(от x = -1 до x = 2) (верхняя функция - нижняя функция) dx

В нашем случае, верхней функцией будет парабола y = 9 - x^2, а нижней функцией будет ось x. Затем мы берем интеграл от этой разности функций по переменной x, от x = -1 до x = 2.

Далее мы решаем интеграл и находим значения площади, как результат вычисления данного определенного интеграла.

Например: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = -1, x = 2 и параболой y = 9 - x^2.

Совет: При решении подобных задач всегда внимательно параметризируйте кривые и ограничивающие прямые. Нарисуйте график, чтобы получить лучшее представление о заданной области.

Закрепляющее упражнение: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = -2, x = 3 и кривой y = 5 - x^2.

Содержание вопроса: Решение задачи на нахождение площади криволинейной трапеции

Разъяснение:

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = -1, x = 2 и параболой y = 9 - x^2, мы можем применить следующий алгоритм:

Шаг 1: Найдите точки пересечения параболы и прямых. Для этого, приравняйте уравнение параболы к уравнению каждой из прямых и решите полученные уравнения.

Шаг 2: Из найденных точек пересечения составьте стороны трапеции. Одна вертикальная сторона будет равна разности абсцисс этих точек, а вторая горизонтальная сторона будет равна разности ординат этих точек.

Шаг 3: Вычислите площадь трапеции, используя формулу площади "средней линии умножить на высоту". Средняя линия трапеции равна сумме длин двух сторон, деленной на 2, а высота - разность ординат конечных точек.

Доп. материал:
Шаг 1: Найдем точки пересечения параболы и прямых:
- x = -1: 9 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8;
- x = 2: 9 - 2^2 = 9 - 4 = 5.

Таким образом, парабола y = 9 - x^2 и прямая x = -1 пересекаются в точке (-1, 8), а парабола и прямая x = 2 - в точке (2, 5).

Шаг 2: Вычислим стороны трапеции:
- Вертикальная сторона: разность абсцисс точек пересечения = 2 - (-1) = 3;
- Горизонтальная сторона: разность ординат точек пересечения = 8 - 5 = 3.

Шаг 3: Вычислим площадь трапеции:
- Средняя линия = (3 + 3) / 2 = 6 / 2 = 3;
- Высота = |8 - 5| = 3.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 3 * 3 = 9.

Совет:
В данной задаче важно правильно находить точки пересечения параболы и прямых, а также правильно их использовать для составления сторон трапеции. Обратите особое внимание на знаки и вычисления.

Задача на проверку:
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = -2, x = 3 и параболой y = 4 - x^2.