Какова эластичность предложения в точке равновесия для математической модели рынка, где спрос определяется функцией

Математика: Эластичность предложения в точке равновесия

Инструкция:
Эластичность предложения в точке равновесия - это мера отклика количества продукции на изменение цены в равновесии. Для определения эластичности предложения в точке равновесия нам понадобятся функции спроса и предложения, а также производные этих функций.

Даны функции спроса и предложения:
D(p) = 56 / (p + 4) + 6 - функция спроса
S(p) = 10 + ln(0.1p) - функция предложения

Чтобы найти эластичность предложения в точке равновесия, сначала найдем равновесную цену (p*), при которой спрос и предложение равны. Это происходит, когда D(p*) = S(p*):

56 / (p* + 4) + 6 = 10 + ln(0.1p*)

Решая это уравнение, найдем значение p*. Подставим это значение обратно в функцию предложения S(p) и найдем количество предложенных товаров в точке равновесия.

Затем, чтобы найти эластичность предложения в этой точке, найдем производную функции предложения по цене (S"(p)). Известно, что эластичность предложения (e) равна отношению процентного изменения количества предложенных товаров к процентному изменению цены: e = (dp / p) / (dS / S), где dp - изменение цены, dS - изменение количества предложенных товаров.

Например:
Задача: Найдите эластичность предложения в точке равновесия для математической модели рынка, где спрос определяется функцией D(p) = 56 / (p + 4) + 6, а предложение - функцией S(p) = 10 + ln(0,1p), где р - цена товара в рублях.

Решение:
1. Найдите равновесную цену, решив уравнение D(p) = S(p):
56 / (p + 4) + 6 = 10 + ln(0.1p)
Решив это уравнение, найдем p* = 9.35 (округленно).

2. Подставьте значение p* в функцию предложения S(p):
S(9.35) = 10 + ln(0.1 * 9.35)
S(9.35) ≈ 10.52

3. Найдите производную функции предложения S"(p):
S"(p) = (1 / p)

4. Найдите эластичность предложения e:
e = (dp / p) / (dS / S)
Здесь dp = 0.01 (небольшое изменение цены для вычисления процентного изменения)
dS = S"(p*) * dp = (1 / p*) * 0.01
e ≈ (0.01 / p*) / ((1 / p*) * 0.01)
e ≈ 1

Ответ: Эластичность предложения в точке равновесия составляет приблизительно 1.

Совет: Понимание эластичности предложения в точке равновесия важно для анализа рынка и прогнозирования реакции предложения на изменение цены. Продолжайте практиковаться в решении подобных задач, чтобы лучше понять концепцию эластичности и ее применение.

Дополнительное упражнение: Найдите эластичность предложения в точке равновесия для математической модели рынка, где спрос определяется функцией D(p) = 80 / (p + 2) + 10, а предложение - функцией S(p) = 5 + ln(0,2p), где р - цена товара в рублях.