Каков объём тела, образовавшегося после поворота фигуры, ограниченной прямыми у = - х + 3, х = 0, х = 3, у = 0 вокруг

Тема: Определение объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ох.

Объяснение:
Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать метод цилиндра известного поперечного сечения, так как фигура ограничена прямыми.

Шаги по решению задачи:
1. Визуализируем фигуру, ограниченную заданными прямыми. В данном случае, это будет треугольник с вершинами (0,3), (0,0) и (3,0).
2. Найдем поперечное сечение, которое является окружностью. Для этого использовать формулу y = f(x) и выразим х через y: х = 3-y.
3. Найдем радиус окружности, используя формулу r = |x - h|, где x - координата х точки на прямой, и h - координата х центра поперечного сечения. В данном случае, центр будет находиться на половине отрезка (0,3), поэтому h = 3/2.
r = |(3 - y) - 3/2| = |-y + 3/2|.
4. Теперь, мы можем приписать каждому y значение r, и построить окружность для каждого поперечного сечения.
5. Найдем объем цилиндрического тела, используя формулу V = π * ∫(от a до b) (r(x))^2 dx, где r(x) - радиус поперечного сечения как функция от х.
В данном случае, a = 0, b = 3.
6. Подставляем выражение для r(x): V = π * ∫(от 0 до 3) |-x + 3/2|^2 dx.
7. Интегрируем по переменной х: V = π * ∫(от 0 до 3) (x^2 - 3x + 9/4) dx.
V = π * [(x^3/3) - (3x^2/2) + (9x/4)] |(от 0 до 3).
8. Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования в выражение и вычисляем объем тела:
V = π * [(3^3/3) - (3 * 3^2/2) + (9 * 3/4)] - [0 - 0 + 0] = π * (27/3 - 27/2 + 27/4) = 9π/4.

Пример использования:
Задача: Найдите объем тела, образованного поворотом фигуры, ограниченной прямыми y = -x + 3, x = 0, x = 3, y = 0 вокруг оси Ох.
Решение: V = 9π/4.

Совет:
Чтобы лучше понять и визуализировать фигуру, ограниченную прямыми, нарисуйте ее на координатной плоскости. Это поможет вам понять, как образуется цилиндр при его вращении вокруг оси Ох.

Упражнение:
Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной прямыми у = -х + 4, x = 0, x = 2, y = 0 вокруг оси Ох.