Каков объем конуса с углом при вершине осевого сечения, равным 120°, если площадь наибольшего сечения, проходящего

Тема урока: Объем конуса с углом при вершине осевого сечения
Объяснение:
Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать формулу для объема конуса: V = (1/3) * π * r^2 * h, где V - объем конуса, r - радиус основания конуса, а h - высота конуса.

У нас есть осевое сечение конуса с углом при вершине, равным 120°. Площадь наибольшего сечения, проходящего через вершину, составляет 18 см².

Площадь осевого сечения конуса можно выразить формулой: A = π * r^2 * sin(θ), где A - площадь осевого сечения, r - радиус основания конуса, а θ - угол при вершине осевого сечения.

Исходя из задачи, угол при вершине осевого сечения равен 120°, а площадь наибольшего сечения равна 18 см². Подставим известные значения в формулу:

18 = π * r^2 * sin(120°)

Далее, рассчитаем значение sin(120°):

sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3 / 2

Теперь мы можем найти радиус конуса:

18 = π * r^2 * (√3 / 2)

Решив данное уравнение относительно r^2, получим:

r^2 = (2 * 18) / (π * √3)

Теперь найдем высоту конуса. Обратимся к известной формуле связи высоты с радиусом и углом при вершине осевого сечения: h = r * cot(θ/2), где h - высота, r - радиус, а θ - угол.

Подставим известные значения:

h = r * cot(120°/2) = r * cot(60°) = r / tan(60°) = r / √3

Теперь мы можем найти высоту конуса:

h = r / √3

Таким образом, мы нашли радиус и высоту конуса. Теперь можно найти объем конуса, подставив значения в формулу V = (1/3) * π * r^2 * h.

Демонстрация:

Задача: Каков объем конуса с углом при вершине осевого сечения, равным 120°, если площадь наибольшего сечения, проходящего через его вершину, составляет 18 см²?

Решение:

Площадь осевого сечения: A = 18 см²
Угол при вершине осевого сечения: θ = 120°

1. Рассчитаем радиус конуса:
r^2 = (2 * 18) / (π * √3)

2. Найдем высоту конуса:
h = r / √3

3. Вычислим объем конуса:
V = (1/3) * π * r^2 * h

Совет:
Чтобы лучше понять задачу и выполнять подобные расчеты, рекомендуется использовать формулы объемов и площадей геометрических фигур, таких как конусы, цилиндры и сферы. Также полезно разобраться в применении углов и их свойствах.

Задание:
Найдите объем конуса с углом при вершине осевого сечения, равным 60°, при условии, что площадь осевого сечения равна 36π см².