Каков наибольший отрицательный корень уравнения sinπ(4x+12)/6=1/2?

Содержание: Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Разъяснение: Для решения уравнений с тригонометрическими функциями, вам необходимо применить знания о периодичности и свойствах тригонометрических функций. В данной задаче, у вас есть уравнение sinπ(4x+12)/6=1/2.

Для начала, мы можем привести правую часть этого уравнения к виду sinx=1/2. Зная таблицу значений тригонометрической функции sin(x), мы можем увидеть, что значения аргумента x, при которых sinx=1/2, являются частями положительного периода синусоиды.

Один из таких аргументов находится в первом квадранте и равен π/6. Однако, мы также будем рассматривать аргументы во всех остальных четырех квадрантах, так как синусоида может иметь отрицательные значения.

Так как sin(x) периодична с периодом 2π, мы можем найти другие значения аргумента, соответствующие sinx=1/2, добавляя или вычитая кратные 2π. Таким образом, мы имеем следующие значения:

x = π/6 + 2πk, где k - целое число.

Теперь мы можем решить уравнение sinπ(4x+12)/6=1/2, заменив x на нашу формулу:

sinπ(4(π/6 + 2πk) + 12)/6 = 1/2

Упрощая выражение, получаем:

sin(2π/3 + 8πk + 2π) = 1/2

Таким образом, наши решения для данного уравнения будут:

2π/3 + 8πk + 2π = π/6 + 2πk

Упрощая это уравнение, получаем:

7π/6 + 8πk = π/6 + 12πk

Далее мы можем решить это уравнение относительно k:

7π/6 - π/6 = 12πk - 8πk

6π/6 = 4πk

π = 4πk

Таким образом, мы получаем значения аргумента x:

π/6 + 2πk, где k - целое число.

Однако, в данном уравнении мы ищем наибольший отрицательный корень. Так как мы находимся в области отрицательных значений, x будет равен:

x = π/6 + 2πk, где k - отрицательное целое число.

Таким образом, наибольший отрицательный корень для данного уравнения будет:

x = π/6 - 2π, так как это будет наибольшее отрицательное значение аргумента x, удовлетворяющее уравнению.

Совет: Для решения уравнений с тригонометрическими функциями, важно знать таблицу значений и основные свойства тригонометрических функций, таких как периодичность и амплитуда.

Проверочное упражнение: Решите уравнение cos2x=0 на интервале от 0 до 2π.