Какое уравнение гиперболы проходит через точку М (-5; 3) и имеет общие фокусы с равносторонней гиперболой x^2 – y^2?

Тема: Уравнение гиперболы с общими фокусами

Объяснение:

Для нахождения уравнения гиперболы, проходящей через точку M (-5;3) и имеющей общие фокусы с равносторонней гиперболой x^2 – y^2, нам понадобится использовать основные свойства гиперболы и формулу расстояния между фокусами.

1. Известно, что уравнение равносторонней гиперболы имеет вид x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, где a и b - полуоси гиперболы.

2. Фокусные точки равносторонней гиперболы находятся на оси x и их координаты равны (-c, 0) и (c, 0), где c - расстояние от центра гиперболы до фокусов.

3. Расстояние между фокусами равно 2c.

4. По условию задачи, уравнение гиперболы должно проходить через точку M (-5;3).

Для того, чтобы найти уравнение искомой гиперболы, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем полуоси гиперболы равносторонней гиперболы. Из уравнения равносторонней гиперболы x^2 – y^2 = 1 видно, что a = 1 и b = 1.

Шаг 2: Найдем расстояние между фокусами основной гиперболы. По формуле расстояния между фокусами в гиперболе, имея полуоси a и b, расстояние между фокусами равно 2*c = 2.

Шаг 3: Найдем координаты фокусных точек основной гиперболы. Так как расстояние между фокусами равно 2 и фокусы лежат на оси x, то координаты фокусов будут (-1, 0) и (1, 0).

Шаг 4: Найдем расстояние от фокусной точки до точки M (-5;3) и установим это расстояние равным значению 2c (2).

Шаг 5: Найдем координаты фокусной точки, которая отстоит от точки M на расстояние 2. Найдем координаты фокуса, ближайшего к точке M. Так как x-координаты фокусов равны -1 и 1, то фокус, ближайший к точке M (-5;3), будет иметь координаты (-1; 3).

Шаг 6: Теперь у нас есть полуоси гиперболы (a = 1, b = 1) и координаты одного из фокусов (-1; 3). С помощью этих данных мы можем написать уравнение гиперболы, проходящей через точкуМ и имеющей общие фокусы с равносторонней гиперболой. Получается, что уравнение гиперболы будет выглядеть так: (x - 1)^2/1 - (y - 3)^2/1 = 1.

Пример:

Если точка М (-5;3) и равносторонняя гипербола имеют уравнение x^2 – y^2, то уравнение гиперболы, проходящей через М и имеющей общие фокусы с равносторонней гиперболой, будет (x - 1)^2/1 - (y - 3)^2/1 = 1.

Совет:

Для лучшего понимания уравнений, свойств и формул гиперболы, рекомендуется ознакомиться с основными понятиями геометрии, а также изучить свойства и графики гипербол.

Практика - решите следующее уравнение для x и y: (x - 1)^2/1 - (y - 3)^2/1 = 1.