Какое самое маленькое значение принимает функция y=(x^2+18x-18)e^x?

Суть вопроса: Минимальное значение функции

Разъяснение:
Для определения самого маленького значения функции нужно найти экстремумы функции и проверить, какое из них является наименьшим. В данной задаче функция y=(x^2+18x-18)e^x - это произведение многочлена (x^2+18x-18) и экспоненты e^x.

Для нахождения экстремумов функции можно воспользоваться производной. Берем производную от функции, приравниваем ее к нулю и решаем полученное уравнение, чтобы найти значения x, в которых функция может достичь экстремумов.

Берем производную функции по переменной x с помощью правила производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных):
y" = (2x+18)e^x + (x^2+18x-18)e^x = (2x + x^2 + 36x) e^x.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
(2x + x^2 + 36x) e^x = 0.
Из этого уравнения видим, что единственное решение, в котором функция может достичь минимального значения, это x = 0.

Теперь, для проверки какой экстремум является минимальным, нужно взять вторую производную и подставить найденное значение x = 0.
Берем вторую производную функции:
y"" = (2 + 4x + x^2 + 36)e^x.

Подставляем x = 0:
y""(x=0) = (2+0+0+36)e^0 = 38.

Полученное значение положительно (38 > 0), значит, в точке x = 0 функция имеет минимальное значение.

Например:
Найдите минимальное значение функции y=(x^2+18x-18)e^x.

Совет:
Если вам не понятно, по каким правилам находятся экстремумы функции или как находить производные, ознакомьтесь с материалом по дифференциальному исчислению и процессу определения экстремумов функций. Практикуйтесь в решении задач, чтобы лучше понять применение этих концепций.

Проверочное упражнение:
Найдите минимальное значение функции y = (2x^2 + 4x - 5)e^x.