Какое наименьшее простое число p такое, что у выражения p^3+4p^2+4p есть ровно 30 положительных делителей?

Содержание вопроса: Поиск наименьшего простого числа с заданным количеством делителей
Разъяснение: Для решения этой задачи, мы должны найти наименьшее простое число, у которого количество положительных делителей равно 30. Для начала, разложим данное выражение на множители. Мы имеем:

p^3 + 4p^2 + 4p = p(p^2 + 4p + 4)

Мы видим, что второй множитель является квадратным трехчленом. Далее, мы заметим, что данное выражение является квадратом суммы двух слагаемых. То есть:

p^2 + 4p + 4 = (p + 2)^2

Теперь необходимо найти п такое, что (p + 2)^2 имеет 30 делителей. Для этого, нам необходимо выразить наше число в виде произведения простых степеней чисел. Заметим, что (p + 2)^2 имеет следующую форму:

(p + 2)^2 = p^2 + 4p + 4 = 2^2 * 3 * 5

То есть, (p + 2)^2 должно иметь 2 делителя 2, 1 делитель 3 и 1 делитель 5.

Теперь, рассмотрим возможные значения для p + 2. Учитывая условие, мы должны найти наименьшее число, поэтому мы выбираем минимальные значения делителей:

2 делителя 2: 2 * 2 = 4
1 делитель 3: 3
1 делитель 5: 5

Получается следующая система уравнений:

p + 2 = 4 * 3 * 5
p + 2 = 60
p = 58

Таким образом, наименьшее простое число p, для которого данное выражение имеет ровно 30 положительных делителей, равно 58.

Например: Какое наименьшее простое число p такое, что у выражения p^3+4p^2+4p есть ровно 30 положительных делителей?

Совет: Обратите внимание на разложение и факторизацию выражения, чтобы увидеть, какие простые множители входят в его состав. Это поможет вам найти число p.

Закрепляющее упражнение: Какое наименьшее простое число p такое, что у выражения p^3+6p^2+8p есть ровно 50 положительных делителей?