Какие значения x удовлетворяют уравнению √(3*cosx+2cos(x-5π/6)) = cos2x на интервале [-11π/2; -4π]?

Суть вопроса: Решение уравнения с тригонометрическими функциями

Описание: Для решения данного уравнения, нам необходимо найти значения переменной x, которые удовлетворяют данному равенству на указанном интервале.

Шаг 1: Сначала мы заменяем cos2x на альтернативное выражение используя формулу двойного угла. Подставим значение в уравнение:

√(3*cosx+2cos(x-5π/6)) = cos^2x

√(3*cosx+2cosx*cos(5π/6)-2*sinx*sin(5π/6)) = cos^2x

√(3*cosx+2*(-sinx)*(-1/2)+(√3*sinx)*(1/2)) = cos^2x

√(3*cosx+sinx-√3*sinx) = cos^2x

√(3*cosx-sinx+√3*sinx) = cos^2x

Шаг 2: Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

3*cosx-sinx+√3*sinx = cos^4x

Шаг 3: Переносим все члены уравнения влево:

3*cosx-sinx+√3*sinx - cos^4x = 0

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

cosx(3 - cos^3x) + sinx(√3 - cos^3x) = 0

Шаг 5: Факторизуем уравнение:

(cosx+sinx)(3 - cos^3x) = 0

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения для удовлетворения заданным условиям:

1) cosx + sinx = 0
2) 3 - cos^3x = 0

Например: Решите уравнение √(3*cosx+2cos(x-5π/6)) = cos2x на интервале [-11π/2; -4π].

Совет: Обычно полезно знать основные формулы и свойства тригонометрии для более легкого решения подобных задач.

Закрепляющее упражнение: Решите уравнение sin2x - 2sinx - 3 = 0.