Какие значения x нужно найти для точек на графике функции f(x) = x^5 - 5x^2 + 1, в которых касательные параллельны

Тема занятия: Уравнение касательной

Описание: Для определения точек на графике функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс (OX), мы должны найти точки, в которых производная функции равна нулю. Касательная к графику функции является линией, которая касается графика только в одной точке. Поскольку мы ищем горизонтальные касательные (параллельные OX), их угловой коэффициент будет равен нулю.

Для нахождения таких точек, необходимо взять производную функции и приравнять ее к нулю. То есть, находим производную f"(x) и решаем уравнение f"(x) = 0. После решения этого уравнения мы найдем значения х, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Демонстрация:
У нас есть функция: f(x) = x^5 - 5x^2 + 1.

Сначала найдем производную функции:
f"(x) = 5x^4 - 10x.

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
5x^4 - 10x = 0.

Решая это уравнение, мы получим два значения x: x = 0 и x = 2.

Таким образом, точки (0, f(0)) и (2, f(2)) на графике функции f(x) = x^5 - 5x^2 + 1, имеют касательные, параллельные оси абсцисс.

Совет: Определение точек на графике функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс, включает нахождение производной функции и решение уравнения, поэтому важно быть уверенным в своем понимании производной функции и уметь решать уравнения. Практика решения подобных задач поможет вам улучшить ваши навыки.

Практика: Найдите точки на графике функции f(x) = x^4 - 3x^2 + 2, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

Содержание: Касательные к графику функции.

Объяснение: Чтобы найти значения x, для которых касательные параллельны оси абсцисс, мы должны найти точки на графике функции, в которых производная функции равна нулю. Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, когда её наклон равен нулю.

Для этого нам нужно найти производную функции f(x), используя правило дифференцирования:

f"(x) = 5x^4 - 10x

Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

5x^4 - 10x = 0

Факторизуем это уравнение:

5x(x^3 - 2) = 0

Из этого уравнения видно, что одно решение равно x = 0. Чтобы найти остальные решения, мы должны решить уравнение x^3 - 2 = 0. Одно из его решений можно получить, находя корень кубического уравнения:

x = ∛2

В итоге, значения x, для которых касательные параллельны оси абсцисс, равны x = 0 и x = ∛2.

Совет: Для лучшего понимания материала, стоит повторить правила дифференцирования и умение факторизовать уравнения. Также стоит вспомнить, что наклон касательной к графику функции определяется производной функции.

Проверочное упражнение: Найдите значения x, для которых касательные к графику функции f(x) = x^3 - 4x^2 + 1 параллельны оси абсцисс.