Какие значения параметра a можно найти, при которых уравнение sin(x+4a)+sin((x^2-6x-7a)/2)=4x-x^2-a не имеет решений

Тема вопроса: Решение уравнений

Инструкция: Чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение sin(x+4a)+sin((x^2-6x-7a)/2)=4x-x^2-a не имеет решений в действительных числах, мы можем проанализировать различные случаи и использовать свойства тригонометрии.

1. Первым шагом заметим, что сумма двух синусов равна числу от -2 до 2, так как sin(x) принимает значения от -1 до 1. Поэтому мы можем переписать уравнение как:

-2 ≤ sin(x+4a) + sin((x^2-6x-7a)/2) ≤ 2

2. Затем мы можем применить свойство синуса: |sin(x)| ≤ 1 для любого x. Применим это свойство к уравнению:

-2 ≤ sin(x+4a) + sin((x^2-6x-7a)/2) ≤ 2

-2 ≤ sin(x+4a) ≤ 2

-2 ≤ sin((x^2-6x-7a)/2) ≤ 2

Заметим, что знак синуса зависит от значения аргумента внутри него, поэтому для того, чтобы выражение было в пределах от -2 до 2, необходимо и достаточно, чтобы аргумент находился в диапазоне от -π/2 до π/2 (так как sin(x) принимает значения от -1 до 1 в этом интервале).

3. Теперь мы можем наложить ограничения на аргументы экспоненты:

-π/2 ≤ x+4a ≤ π/2

-π/2 ≤ (x^2-6x-7a)/2 ≤ π/2

4. Мы можем далее решить эти два неравенства относительно x и a, используя алгебраические методы решения неравенств. Получим:

-π/2 - 4a ≤ x ≤ π/2 - 4a

-π - 6a ≤ x^2 - 6x - 7a ≤ π - 6a

5. Теперь мы можем рассмотреть каждую часть уравнения по отдельности.

Для первого неравенства: -π/2 - 4a ≤ x ≤ π/2 - 4a

Для второго неравенства: -π - 6a ≤ x^2 - 6x - 7a ≤ π - 6a

Найдем дискриминант второго неравенства и решим его: D = (-6)^2 - 4(1)(-7a) = 36 + 28a

6. Если D ≤ 0, то второе неравенство не имеет решений и a принадлежит любому диапазону.

Например: Для каких значений параметра a уравнение sin(x+4a)+sin((x^2-6x-7a)/2)=4x-x^2-a не имеет решений в действительных числах?

Совет: Чтобы понять, как решать подобные уравнения, хорошо обозначьте параметры и использовать факты о графиках тригонометрических функций.

Задание: Найдите значения параметра a, при которых уравнение sin(x+2a)+sin((x^2-4x-5a)/2)=3x-x^2-a не имеет решений в действительных числах.