Какие уравнения нужно решить на завтра: lg(x^2+y^2)-1=lg13 и lg(x+y)-lg(x-y)=3?

Суть вопроса: Решение логарифмических уравнений

Описание: Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых неизвестными величинами являются аргументы логарифмов. Для решения таких уравнений мы будем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы.

Решение уравнения (1) lg(x^2+y^2)-1=lg13:
1. Применим свойство логарифма, гласящее, что lg(a)-lg(b)=lg(a/b). Таким образом, уравнение можно переписать в виде: lg((x^2+y^2)/13)=1.
2. Возведем обе части уравнения в степень 10: (x^2+y^2)/13 = 10^1 = 10.
3. Умножим обе части уравнения на 13: x^2+y^2 = 10*13 = 130.
4. Теперь можно решить получившееся уравнение. Например, если мы хотим найти значения x и y в целых числах, то возможны варианты (x=11, y=3) или (x=-11, y=-3). Это возможные решения.

Решение уравнения (2) lg(x+y)-lg(x-y)=3:
1. Применим свойство логарифма, а именно lg(a)-lg(b)=lg(a/b). Уравнение станет: lg((x+y)/(x-y))=3.
2. Возведем обе части уравнения в степень 10: (x+y)/(x-y) = 10^3 = 1000.
3. Умножим обе части уравнения на (x-y): x+y = 1000*(x-y).
4. Раскроем скобки: x+y = 1000x-1000y.
5. Разделим все переменные на 999: (x+y)/999 = x/999 - y/999.
6. Теперь мы можем выбрать значения x и y, например, x=999 и y=1. Это одно из возможных решений.

Совет: При решении логарифмических уравнений важно помнить о свойствах логарифмов и уметь преобразовывать уравнения, чтобы избавиться от логарифмической функции. Не забудьте проверить полученные решения, подставив их обратно в исходные уравнения и убедившись в их справедливости.

Закрепляющее упражнение: Решите уравнение lg(2x-1) - lg(x-3) = 2 и найдите значения x.