Какие интервалы содержат значения x, удовлетворяющие графическому решению неравенства x^2 > -4x

Неравенство x^2 > -4x - это квадратное неравенство. Чтобы определить интервалы, в которых выполняется это неравенство, мы можем использовать два метода: метод интервалов и метод таблиц.

Метод интервалов: Давайте рассмотрим данное неравенство и найдем интервалы, в которых оно выполняется.

1. Начнем с выражения нашего неравенства: x^2 > -4x.
2. Выразим неравенство в виде квадратного уравнения: x^2 + 4x > 0.
3. Решим квадратное уравнение, находя его корни: x(x + 4) > 0.
4. Заметим, что у нас есть два множителя: x и (x + 4). Чтобы неравенство было истинным, оба множителя должны иметь одинаковые знаки:
- Если оба множителя положительны, то неравенство выполняется.
- Если оба множителя отрицательны, то неравенство также выполняется.
- Если один из множителей равен нулю, то мы исключаем эту точку из интервала, так как в этом случае неравенство не выполняется.

5. Построим таблицу, чтобы определить значения x, удовлетворяющие неравенству:

   ----------------------

   |   интервал   | x    |

   ----------------------

   |  x < 0       |       |

   ----------------------

   |  -4 < x < 0  |       |

   ----------------------

   |  x > 0       |       |

   ----------------------



   

6. В каждом интервале выберем произвольные значения x и определим знак выражения x(x + 4):
- Для интервала x < 0 возьмем x = -1.
- Для интервала -4 < x < 0 возьмем x = -3.
- Для интервала x > 0 возьмем x = 1.

Теперь можем заполнить таблицу значениями выражения:

   ----------------------

   |   интервал   | x    |

   ----------------------

   |  x < 0       |   +   |

   ----------------------

   |  -4 < x < 0  |   -   |

   ----------------------

   |  x > 0       |   +   |

   ----------------------

   

   

Для всех интервалов, где выражение x(x + 4) равно +, неравенство выполняется. Итак, интервалы, в которых выполняется неравенство x^2 > -4x, это x < 0 и x > 0.

Дополнительный материал: Найдите интервалы, содержащие значения x, удовлетворяющие графическому решению неравенства x^2 > -4x.

Совет: Для решения квадратных неравенств полезно разбить их на отдельные интервалы, исследовать знаки многочлена внутри каждого интервала и определить, в каких интервалах выполняется неравенство.

Проверочное упражнение: Найдите интервалы, содержащие значения x, удовлетворяющие графическому решению неравенства x^2 + 2x - 8 > 0.