Какие интервалы характеризуют монотонное изменение функции y=x3/3 - x2/2

Содержание вопроса: Монотонное изменение функции

Объяснение:
Для начала разберемся с термином "монотонное изменение функции". Функция считается монотонно возрастающей на некотором интервале, если ее значение увеличивается при увеличении входного аргумента. Аналогично, функция считается монотонно убывающей на интервале, если ее значение уменьшается при увеличении входного аргумента.

Теперь рассмотрим функцию y = x^3/3 - x^2/2. Чтобы понять, какие интервалы характеризуют монотонное изменение этой функции, рассмотрим ее производную. Производная функции показывает ее скорость изменения в каждой точке. Если производная положительна на некотором интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция монотонно убывает.

Для нашей функции, производная равна y" = x^2 - x. Чтобы найти точки перегиба, необходимо приравнять производную к нулю и решить это уравнение. Получаем x^2 - x = 0, что можно факторизовать как x(x - 1) = 0. Решая это уравнение, получаем две возможных точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для функции на интервалах (-∞, 0), (0, 1) и (1, +∞). Подставим в эти интервалы значения, например, x = -1, 0.5 и 2, чтобы определить знак производной и, следовательно, монотонность функции на каждом интервале.

Пример:
Найдите интервалы, в которых функция y = x^3/3 - x^2/2 монотонно возрастает или монотонно убывает.

Совет:
Для более тщательного анализа функции можно использовать вторую производную. Если вторая производная положительна на некотором интервале, это означает, что функция выпуклая вверх и имеет локальный минимум на этом интервале. Если вторая производная отрицательна, это означает, что функция выпуклая вниз и имеет локальный максимум.

Упражнение:
Определите интервалы, на которых функция y = x^3/3 - x^2/2 монотонно возрастает и монотонно убывает.