Какая длина хорды стягивает дугу кругового сектора, если его площадь равна 9π см², а радиус окружности равен

Тема: Круговой сектор и сегмент

Объяснение: Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание формул для площади кругового сектора и сегмента. Площадь кругового сектора можно найти с помощью соотношения между площадью всего круга и отношением центрального угла к 360 градусам. Формула для площади кругового сектора выглядит следующим образом:

\(S_{\text{сектора}} = \frac{1}{360} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot \alpha\),

где \(S_{\text{сектора}}\) - площадь кругового сектора, \(\pi\) - число пи (приближенно равно 3.14159), \(r\) - радиус окружности, а \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

Однако в данной задаче нам известна площадь кругового сектора, а не центральный угол. Чтобы найти длину хорды, стягивающей данную дугу, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\(l = 2 \cdot r \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})\),

где \(l\) - длина хорды, стягивающей дугу, \(r\) - радиус окружности, а \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

Таким образом, нам нужно найти значение центрального угла \(\alpha\) для данного кругового сектора. Для этого мы можем использовать формулу для площади кругового сектора:

\(S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2\).

Подставив известные значения, мы получим следующее уравнение:

\(9\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 6^2\).

Выполняя вычисления, мы можем найти значение центрального угла \(\alpha\):

\(\alpha = \frac{9 \cdot 360}{36} = 90\) градусов.

Теперь, зная значение центрального угла, мы можем использовать формулу для длины хорды и найти искомое значение:

\(l = 2 \cdot 6 \cdot \sin(\frac{90}{2})\).

После проведения вычислений, мы получаем:

\(l = 2 \cdot 6 \cdot \sin(45) \approx 12.73\) см.

Чтобы найти площадь получившегося сегмента, мы можем вычесть площадь кругового сектора из площади сегмента. Формула для площади сегмента выглядит следующим образом:

\(S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}}\),

где \(S_{\text{сегмента}}\) - площадь сегмента, \(S_{\text{сектора}}\) - площадь кругового сектора, а \(S_{\text{треугольника}}\) - площадь треугольника, образованного хордой и радиусом.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы для площади треугольника:

\(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\),

где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, а \(\alpha\) - угол между сторонами.

Подставляя известные значения, мы получим:

\(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(45) \approx 25.46\) см².

Теперь мы можем найти площадь сегмента:

\(S_{\text{сегмента}} = 9\pi - 25.46 \approx 6.85\) см².

Совет: Для лучшего понимания данной задачи, рекомендуется использовать геометрические представления и рисунки для визуализации ситуации.

Упражнение: Найдите длину хорды и площадь сегмента, если радиус окружности равен 10 см, а площадь кругового сектора равна 16π см².