Как выразить уравнение касательной к кривой функции y=x-3/x+2 в точке с координатой x0=-3?

Тема: Уравнение касательной к кривой функции

Разъяснение: Чтобы найти уравнение касательной к кривой функции в заданной точке, необходимо применить некоторые понятия дифференциального исчисления. Сначала найдем производную данной функции. Для этого используем правило дифференцирования функции вида y = u/v, где u(x) и v(x) - функции от x: (u/v)" = (u"v - uv")/v^2. В нашем случае, u(x) = x - 3 и v(x) = x + 2. Чтобы найти производную функции y(x), вычисляем производные частей u(x) и v(x): u"(x) = 1 и v"(x) = 1. Подставляем полученные значения в формулу: y"(x) = ((1)*(x + 2) - (x - 3)*(1))/((x + 2)^2). Получаем производную функции y(x). Затем вычислим значение производной в точке x0 = -3: y"(-3) = ((1)*(-3 + 2) - (-3 - 3)*(1))/((-3 + 2)^2). Далее, используя найденное значение производной, а также координаты точки (-3, y), подставляем в уравнение касательной y - y0 = y"(x0)*(x - x0). Подставляем полученные значения и упрощаем уравнение, чтобы получить окончательный ответ.

Демонстрация: Для заданной функции y=x-3/x+2, найдите уравнение касательной в точке x0=-3.

Совет: Для лучшего понимания данного материала рекомендуется предварительно изучить правила дифференцирования и применение этих правил для вычисления производных сложных функций.

Задание: Дана функция y = 2x^2 - 3x + 1. Найдите уравнение касательной к этой функции в точке с координатой x0 = 2.

Суть вопроса: Уравнение касательной к кривой функции

Разъяснение: Для выражения уравнения касательной к кривой функции в определенной точке, нам необходимо использовать производную этой функции. В данной задаче у нас есть функция y = (x - 3) / (x + 2) и точка (-3, y).

1. Сначала найдем производную функции по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного функций: (f(x)/g(x))" = (f"(x)g(x) - f(x)g"(x)) / (g(x))^2. Применим это правило к нашей функции:

y" = ((1)*(x+2)-(x-3)*(1))/((x+2)^2) = (x+2-x+3)/((x+2)^2) = 5/((x+2)^2).

2. Теперь найдем значение производной в точке (-3, y). Подставим x = -3 в выражение для производной y" (та, которую мы получили из первого шага):

y"(-3) = 5/((-3+2)^2) = 5/1 = 5.

3. Теперь у нас есть значение производной в точке (-3, y), а также координаты точки (-3, y). Мы можем использовать эти значения, чтобы получить уравнение касательной, используя точку-наклонную форму уравнения прямой:

y - y0 = m(x - x0),

где y0 - значение функции в точке (-3, y), m - значение производной в точке (-3, y), x0 - значение x в точке (-3, y). Подставим полученные значения:

y - y0 = m(x - x0),
y - y = 5(x - (-3)).

4. Далее раскроем скобки и приведем уравнение касательной к приведенному виду:

y - y = 5(x + 3),
0 = 5(x + 3),
5x + 15 = 0.

5. Получили уравнение касательной к кривой функции y = (x - 3) / (x + 2) в точке (-3, y) : 5x + 15 = 0.

Демонстрация: «Выразите уравнение касательной к кривой функции y = (x - 3) / (x + 2) в точке (-3, y).»

Совет: Чтобы лучше понять уравнение касательной и его происхождение из производной, рекомендуется изучить понятие производной и правила дифференцирования функций.

Упражнение: Найдите уравнение касательной к кривой функции y = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5 в точке с координатой x0 = -2.