Как можно решить систему уравнений 3x + 2y + z = 5, 2x + 3y + z = 1 и 2x + y + 3z = 11 с использованием метода Гаусса?

Метод Гаусса для решения системы уравнений:

Метод Гаусса - это алгоритм для решения системы линейных уравнений. Для решения данной системы уравнений, мы используем следующие шаги:

1. Запишите систему уравнений в матричной форме, где коэффициенты перед неизвестными образуют матрицу, а свободные члены - столбец.
Матрица системы будет выглядеть следующим образом:
| 3 2 1 | 5 |
| 2 3 1 | 1 |
| 2 1 3 | 11 |

2. Примените элементарные преобразования над строками матрицы, чтобы привести ее к треугольному виду.
Начнем с первой строки и преобразуем ее, чтобы получить нули под первым элементом:
Умножьте первую строку на коэффициент -2/3 и сложите ее с второй строкой
Умножьте первую строку на коэффициент -2/3 и сложите ее с третьей строкой

Полученная матрица:
| 3 2 1 | 5 |
| 0 7/3 -1/3 | -7/3 |
| 0 2/3 8/3 | 19/3 |

3. Продолжайте применять элементарные преобразования, чтобы получить нули под вторым элементом второй строки:
Умножьте вторую строку на коэффициент -2/7 и сложите ее с третьей строкой

Полученная матрица:
| 3 2 1 | 5 |
| 0 7/3 -1/3 | -7/3 |
| 0 0 10/3 | 10/3 |

4. Последний шаг - обратный ход Гаусса.
Начиная с последней строки, найдем значения неизвестных путем обратной подстановки.
z = 10/3 / 10/3 = 1
y = (-7/3 + (1/3) * 1) / (7/3) = 0
x = (5 - 2 * 0 - 1 * 1) / 3 = 4/3

Решение системы уравнений: x = 4/3, y = 0, z = 1.

Демонстрация:
Задача: Решить систему уравнений:
3x + 2y + z = 5
2x + 3y + z = 1
2x + y + 3z = 11

Решение методом Гаусса:
1. Преобразование системы к матричному виду:
| 3 2 1 | 5 |
| 2 3 1 | 1 |
| 2 1 3 | 11 |

2. Применение элементарных преобразований:
| 3 2 1 | 5 |
| 0 7/3 -1/3 | -7/3 |
| 0 2/3 8/3 | 19/3 |

3. Применение элементарных преобразований:
| 3 2 1 | 5 |
| 0 7/3 -1/3 | -7/3 |
| 0 0 10/3 | 10/3 |

4. Обратный ход Гаусса:
z = 1
y = 0
x = 4/3

Решение системы уравнений: x = 4/3, y = 0, z = 1.

Совет: Когда вы применяете элементарные преобразования, убедитесь, что все числа остаются в удобной форме для дальнейших вычислений. Если возникают сложности с дробями, можно использовать десятичные дроби, но не забывайте округлять результаты.

Упражнение: Решите систему уравнений методом Гаусса:
4x + 2y + z = 8
3x + y + 2z = 7
x + y + 3z = 10