Как можно доказать, что множество чисел вида 1/3k, где k является натуральным числом, является счетным?

Содержание: Доказательство счетности множества чисел вида 1/3k

Инструкция:
Для доказательства счетности множества чисел вида 1/3k, где k - натуральное число, мы можем установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и множеством натуральных чисел.

Для этого можно построить функцию f(k) = 3^k, которая сопоставляет каждому натуральному числу k число вида 1/3k. Таким образом, каждому натуральному числу соответствует единственное число в множестве 1/3k, и наоборот.

Теперь докажем, что данная функция является взаимно однозначным соответствием. Предположим, что для некоторого k1 и k2 мы имеем f(k1) = f(k2). Это означает, что 3^k1 = 3^k2. Для того чтобы два различных числа давали одинаковый результат, необходимо, чтобы они были равны. Таким образом, k1 = k2.

Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством чисел вида 1/3k и множеством натуральных чисел. По определению, множество натуральных чисел является счетным, что означает, что множество чисел вида 1/3k также является счетным.

Демонстрация:
Докажите, что множество чисел вида 1/3k, где k является натуральным числом, является счетным.

Совет:
Для лучшего понимания доказательства, ознакомьтесь с основными понятиями счетности и взаимно однозначных соответствий.

Задача на проверку:
Докажите, что множество чисел вида 1/4k, где k является натуральным числом, является счетным.