Как изменится детерминант, если от первой строки вычесть умноженную на три третью строку?

Тема занятия: Детерминант и его изменения при операциях над строками

Разъяснение: Детерминант матрицы - это числовое значение, которое сопоставляется квадратной матрице. Детерминант является одним из важных понятий линейной алгебры и имеет различные свойства. Одно из таких свойств говорит о том, что при операциях над строками матрицы, детерминант может изменяться.

В данной задаче вам предлагается выполнить операцию над строками матрицы. Конкретно, нужно из первой строки матрицы вычесть третью строку, умноженную на три. Чтобы понять, как это повлияет на детерминант, нужно знать следующее правило:
При операции над строками, при которой к одной строке добавляют другую, умноженную на число `k`, детерминант матрицы также умножается на число `k` (или на `-k`, если строки меняют местами).

Таким образом, в данной задаче, если мы вычтем утроенную третью строку из первой строки исходной матрицы, детерминант изменится и станет равным трем разности исходного детерминанта и детерминанта матрицы, образованной только из третьей строки.

Доп. материал:
Дана матрица:

A = | 2  4  6 |

    | 3 -1  2 |

    | 1 -2 -3 |

Требуется найти измененный детерминант матрицы A после операции:

Вычтем утроенную третью строку из первой строки:

| 2  4  6 |    | 2  4  6 |

| 3 -1  2 |  - | 3 -1  2 | * 3 = 

| 1 -2 -3 |    | 1 -2 -3 |   



| 2  4  6 |

| 3 -1  2 |  -  

|-2  4  6 |

Детерминант новой матрицы равен: `(-1) * 3 * (-2) = 6`, а исходный детерминант матрицы A равен `-46`. Таким образом, измененный детерминант равен `6 - (-46) = 52`.

Совет: Чтобы лучше понять, как влияют операции над строками на детерминант матрицы, рекомендуется ознакомиться с основами линейной алгебры, включая правила операций над строками матрицы и их влияние на детерминант.

Закрепляющее упражнение: Дана матрица:

B = | 1  2 |

    | 3  4 |

Вычтите удвоенную вторую строку из первой строки и найдите измененный детерминант матрицы B.

Содержание: Детерминант матрицы

Пояснение: Детерминант матрицы - это числовая характеристика матрицы, которая обозначается как det(A) или |A| и позволяет определить, является ли матрица обратимой или сингулярной.

Если от первой строки матрицы вычесть умноженную на три третью строку, то детерминант матрицы не изменится. Это происходит потому, что детерминант не зависит от операций со строками матрицы.

Доказательство:

Пусть A - исходная матрица, а B - матрица, которая получается путем вычитания умноженной на три третьей строки из первой строки матрицы A.

Если мы записываем матрицу A в виде строк:
A = [a₁, a₂, a₃]

и матрицу B в виде строк:
B = [a₁ - 3a₃, a₂, a₃]

Тогда мы можем заметить, что строки B являются линейными комбинациями строк A. И линейные комбинации строк не изменяют значение детерминанта.

Таким образом, детерминант матрицы не будет изменяться, если от первой строки вычесть умноженную на три третью строку.

Например: Для матрицы A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], детерминант det(A) будет равен 0. Если от первой строки вычесть умноженную на три третью строку, получим матрицу B = [[-20, -22, -24], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], и детерминант det(B) также будет равен 0.

Совет: Понимание понятия детерминанта и его свойств поможет вам более легко понять, как изменяется матрица при применении операций со строками. Решайте практические задачи и примеры, чтобы закрепить полученные знания.

Дополнительное задание: Вычислите детерминант матрицы C = [[2, 4, 6], [1, 3, 5], [0, 1, -1]].