Если функция u дифференцируема в точке x0, а c - константа, то функция cu также дифференцируема в этой точке

Тема вопроса: Дифференцируемость функции

Объяснение:

Пусть дана функция u(x), которая дифференцируема в точке x0. Это означает, что производная функции u(x) существует в точке x0. Обозначим производную через u"(x).

Теперь рассмотрим функцию cu(x), где с - константа. Чтобы определить, дифференцируема ли функция cu(x) в точке x0, мы должны проверить, существует ли производная этой функции в этой точке.

Используя правило дифференцирования произведения функций, мы можем записать производную функции cu(x) следующим образом:

(cu)"(x) = c * u"(x)

Таким образом, производная функции cu(x) равна произведению константы с и производной функции u(x).

Исходя из этого, если функция u(x) дифференцируема в точке x0, то функция cu(x) также дифференцируема в этой точке.

Демонстрация:

Пусть дана функция f(x) = 3x^2, и мы хотим проверить дифференцируемость функции g(x) = 2*f(x) в точке x = 1.

Сначала найдем производную функции f(x):

f"(x) = 6x

Теперь по правилу дифференцирования произведения функций:

(g(x))" = (2*f(x))" = 2 * f"(x) = 2 * 6x = 12x

Таким образом, производная функции g(x) равна 12x.

Мы видим, что функция g(x) имеет производную в точке x = 1, поэтому функция g(x) дифференцируема в этой точке.

Совет:

Чтобы лучше понять дифференцирование функций, рекомендуется изучить основные правила дифференцирования, такие как правило суммы, правило произведения и правило сложной функции. Также полезно решать задачи и практиковаться в применении правил дифференцирования на конкретных примерах.

Дополнительное упражнение:

Дифференцируйте функцию y(x) = 5sin(x) в точке x = π/2.